Serie de Newton generalizada (o fórmula de Taylor discreta generalizada)

Question

La serie de Newton, es decir, el análogo discreto de la expansión de Taylor del continuo, implica operadores de diferencias iteradas clásicos $\Delta$ definido por $\Delta f(k) = f(k+1) - f(k)$ . De hecho, la serie de Newton escribe $$f(x) = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{\Delta^{k}f(a)}{k!}(x-a)_{k},$$

donde $(x)_{k} = x(x-1)(x-2)...(x-k+1)$ .

También existe un operador diferencial generalizado definido por

$$\Delta^{\mu}f(x) = \sum_{k=0}^{\infty}\mu_{k}f(x+k),$$

donde $\mu = (\mu_{1}, \mu_{2}, ...)$ es una sucesión de números reales tal que $\sum_{k=0}^{\infty}\mu_{k} < \infty$ .

Mi pregunta: ¿existe una "expansión discreta de Taylor" como la presentada anteriormente en la que participen $\Delta^{\mu}$ en lugar del clásico $\Delta$ ?

Gracias por sus respuestas.

Answer 1

Su operador diferencial $\Delta^\mu$ tiene la propiedad de que conmuta con el desplazamiento operador $Ef(x)=f(x+1)$ . Por lo tanto, entra en el ámbito del trabajo de Rota, et al., sobre cálculo de operadores finitos. En particular, el Teorema 2 (Teorema de la primera expansión) de G.-C. Rota, D. Kahaner y A. Odlyzko, On the foundations of combinatorial theory. VIII. Cálculo de operadores finitos, J. Math. Anal. Appl. 42 (1973), 684-760, da la expansión discreta de Taylor que buscas. Por razones de convergencia formal, se necesita la condición adicional de que $\Delta^\mu(x)$ es una constante distinta de cero.