Pruebas $u+\frac1{n}$ es un límite superior

Question

Sea $S\subseteq\mathbb{R}$ no sea vacío. Demostrar que si $u=\sup S$ entonces $\forall n\in \mathbb{N}, u-\frac{1}{n}$ no es un límite superior de $S$ pero $u+\frac1{n}$ es un límite superior de $S$ .

Así que empezamos que desde $u=\sup S$ , $u$ es un límite superior de $S$ y es, en particular, el límite superior mínimo de $S$ . Por lo tanto, no existe un número menor que $u$ que puede ser un límite inferior. Dado que $u-\frac1{n}<u$ , $u$ no puede ser un límite superior de $S$ . Para $u+\frac1{n}$ ya que $u$ es el supremum, $s\le u, \forall s \in S$ . Así que $$s\le u \lt u+\frac{1}{n}\rightarrow s<u+\frac1{n},\forall s\in S, \forall \in \mathbb{N}$$ Por lo tanto, por definición, $u+\frac1{n}$ es un límite superior de $S$ .

¿Es una buena prueba?

Answer 1

Cambia "que puede ser un límite inferior" por "que puede ser un límite superior".

Cambiar "Desde $u−1/n<u$ , $u$ no puede..." a "Por lo tanto, puesto que $u−1/n<u$ , $u- 1/n$ no puede...".

Cambiar " $s \le u \forall s \in S$ a $\forall s\in S, s \le u$ .

Retire el " $\forall n \in N$ " de la ecuación mostrada: lo estás haciendo todo aquí para una $n \in N$ . De hecho, debería empezar con "Let $n \in N$ sea un número entero positivo fijo".