Un problema de probabilidad condicional con monedas sesgadas

Question

Necesito una explicación para resolver el siguiente problema: ¿cómo se resuelve exactamente? Agradeceré cualquier consejo o sugerencia:

Una caja contiene 5 monedas justas y 5 sesgadas. Cada moneda sesgada tiene una probabilidad de cara de $\frac{4}{5}$ . Se saca una moneda al azar de la caja y se lanza. A continuación, se saca una segunda moneda al azar de la caja (sin sustituir a la primera). Dado que la primera moneda ha salido cara, la probabilidad condicional de que la segunda moneda salga cara es:

A) $\frac{20}{39}$ B) $\frac{20}{37}$ C) $\frac{1}{2}$ D) $\frac{7}{13}$

Answer 1

CONSEJO

Se trata de un problema de regla de Bayes. $$P(Biased|Heads) = \frac{P(Heads|Biased)P(Biased)}{P(Heads|Biased)P(Biased) + P(Heads|Fair)P(Fair)}.$$ $P(Heads|Biased) = 4/5$ y te dejaré el resto a ti.

Answer 2

Debería utilizar la regla de Bayes, pero si es nuevo en este tipo de problemas, aquí tiene una forma de ver intuitivamente lo que está ocurriendo.

Tienes que ir por las dos ramas de lo que podría pasar en el primer lanzamiento de la moneda. Cuando tomas esa primera moneda y la lanzas, hay 4 posibles puntos finales. Moneda justa - cara, moneda justa - cruz, moneda sesgada - cara, moneda sesgada - cruz. Sus probabilidades son $\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$ , $\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$ , $\frac{1}{2}\times\frac{4}{5}=\frac{2}{5}$ y $\frac{1}{2}\times\frac{1}{5}=\frac{1}{10}$ . La primera $\frac{1}{2}$ en cada una de esas probabilidades es la probabilidad de elegir ese tipo de moneda y es realmente $\frac{5}{10}$ .

Así que, ahora que sabemos eso, podemos mirar el evento de obtener una cabeza en el primer lanzamiento. La probabilidad de que esa cara sea de la moneda justa es $$\frac{0.25}{0.25+0.40}$$ y la probabilidad de que la cara proceda de la moneda sesgada es $$\frac{0.40}{0.25+0.40}$$

Así que dado que la primera moneda salió cara, hay un $\frac{5}{13}$ casualidad era la moneda justa y una $\frac{8}{13}$ posibilidad de que fuera la moneda sesgada.

A partir de ahí puedes calcular la probabilidad de obtener una moneda justa para la segunda moneda. $$\frac{5}{13}*\frac{4}{9}+\frac{8}{13}*\frac{5}{9}$$

Answer 3

Los acontecimientos que el segundo moneda es justa y que el primero muestra que las cabezas son condicionalmente independientes cuando se da la equidad del primero moneda. Así que por la Ley de Probabilidad Total, y dejando que $F_n$ representan esa moneda $n$ es justo y $H_n$ representan que la moneda sale cara, tenemos:

$$\def\P{\operatorname{\sf P}} \P(F_2\mid H_1) ~{= \P(F_2\mid F_1,H_1)\P(F_1\mid H_1) + \P(F_2\mid F_1^\complement, H_1)\P(F_1^\complement\mid H_1)\\= \P(F_2\mid F_1)\P(F_1\mid H_1)+\P(F_2\mid F_1^\complement)\P(F_1^\complement\mid H_1) \\ = \dfrac{\P(F_2\mid F_1)\P(F_1)\P(H_1\mid F_1)}{\P(H_1)}+\dfrac{\P(F_2\mid F_1^\complement)\P(F_1^\complement)\P(H_1\mid F_1^\complement)}{\P(H_1)} \\ = \dfrac{\P(F_2\mid F_1)\P(F_1)\P(H_1\mid F_1)+\P(F_2\mid F_1^\complement)\P(F_1^\complement)\P(H_1\mid F_1^\complement)}{\P(F_1)\P(H_1\mid F_1)+\P(F_1^\complement)\P(H_1\mid F_1^\complement)}}$$

La evaluación de estos términos se deja ahora en manos del estudiante.

Answer 4

$$P(\text{second is fair}\mid \text{first is head}) = \frac{P(\text{second is fair and first is head})}{P(\text{1st is head})}.$$

$$P(\text{first is head}) = P(\text{first is biased}) \times P(\text{head}\mid\text{biased}) + P(\text{first is unbiased}) \times P(\text{head}\mid\text{unbiased}) $$ $$= \left(\frac{4}{5} \times\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}\right)=\frac{4}{10}+\frac{1}{4}=\frac{13}{20}.$$

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$$P(\text{second is fair and first is head})$$ $$= P(\text{second is fair and first is fair and is head}) + P(\text{second is fair and first is unfair and is head}) $$ $$= \left(\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}\times\frac{4}{9}\right)+\left(\frac{4}{5}\times\frac{1}{2}\times\frac{5}{9}\right) = \frac{4}{36}+\frac{20}{90}=\frac{60}{180}=\frac{1}{3}.$$

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Por lo tanto, la probabilidad dada es igual a $$\frac{1}{3} \div \frac{13}{20}= \boxed{\frac{20}{39}}.$$