Trucos para producir ejemplos de hipersuperficies con índice mayor que $1$

Question

Recordemos que el índice de un esquema algebraico $X$ se define como el máximo común divisor de los grados del espacio de ciclos cero en $X$ . Me interesan ejemplos de hipersuperficies en $\mathbb{P}^n_K$ donde $K$ es un campo p-ádico (por ejemplo $\mathbb{Q}_p$ ) cuyo índice sea mayor que $1$ . Si $n=2$ Estos ejemplos no son muy difíciles de construir. En general, lo que se sabe sobre hipersuperficies con índice mayor que $1$ ? ¿Existe algún truco estándar para producir ejemplos de tales hipersuperficies? Cualquier idea o referencia en este sentido será de gran ayuda.

Answer 1

He aquí un conjunto de ejemplos que construí (véase `Módulos establemente libres', Amer. Journal, Vol 107, 1985). Los describiré brevemente, ya que puede que no sean de su interés. Sea $k$ sea un campo cualquiera y $f(x)$ ser un grado $p$ polinomio sobre $k$ para un primo $p$ con $f(0)\neq 0$ et $f(x^{p^{n-1}})$ irreducible sobre $k$ y algunos $n$ . Utilizando un $f$ se puede construir una hipersuperficie en $\mathbb{P}^n_k$ de índice $p$ . Mi principal interés en el citado documento era $k$ funciones racionales sobre otro campo, donde tales $f$ son fáciles de construir.