Conjuntos cerrados VS. Conjuntos completos

Question

Sea $(X,d)$ sea un espacio métrico. Si $KX$ y $K$ es un conjunto cerrado. ¿Significa eso que cualquier secuencia de Cauchy en $K$ converge en $K$ ?

En caso negativo, ¿podría alguien dar un ejemplo?

En caso afirmativo, ¿cuál es la diferencia entre conjuntos completos y conjuntos cerrados?

Answer 1

Los racionales son cerrados en los racionales, pero obviamente no completos. Para la inclusión estricta, tómese $\mathbb{Q} \cap [0,1]$ en $\mathbb{Q}$ . Tampoco completo, pero cerrado.

Por cierto, completo implica cerrado. Basta con mirar los puntos límite y las secuencias.