Si $G$ es un grupo topológico que contiene un elemento de torsión, entonces el espacio clasificador $BG$ es infinito-dimensional?

Question

Sabemos que si $G$ es un grupo topológico que contiene un elemento de torsión y $G$ cumple condiciones adicionales como $G$ discreto o $G$ finito-dimensional, entonces el espacio clasificador $BG$ es de dimensión infinita.

Mi pregunta es: ¿podemos eliminar la condición adicional para que la afirmación siga siendo válida? Es decir, ¿hay algún contraejemplo para $G$ ¿infinito-dimensional?

Edito: Perdón, G contiene un elemento de torsión debería ser G no es libre de torsión. Gracias por vuestras atentas aportaciones.

Answer 1

He aquí una especie de ejemplo canónico.

Considere $GL(\mathbb H)$ el grupo de operadores invertibles en un espacio de Hilbert. Por el teorema de Kuipers es contractible. Pero $GL(\mathbb H)$ actúa libre y correctamente sobre sí misma. Por lo tanto, el espacio de clasificación es $BGL(\mathbb H)=GL(\mathbb H)/GL(\mathbb H)$ un punto. Las consecuencias son que los haces de Hilbert son triviales sobre espacios paracompactos, la teoría K está representada por operadores de Fredholm, etc.

Por supuesto $GL(\mathbb H)$ contiene mucha torsión. Cualquier grupo finito es un subgrupo de $GL(\mathbb H)$ por ejemplo.

Answer 2

Sea $A$ sea un grupo discreto con un elemento de torsión. Sea $EA$ sea la realización geométrica del groupoide de acción de $A$ actuando sobre sí misma por multiplicación por la izquierda. $EA$ es la realización geométrica de un grupo simplicial, por lo que es un grupo topológico. Es bien sabido que $EA$ es un espacio contractible, y por lo tanto el espacio clasificador de $EA$ también se puede contraer. Porque $A$ tiene elementos de torsión, $EA$ también tiene elementos de torsión.

Si quieres un ejemplo en el que el propio grupo no es contractible, deja que $G$ sea cualquier grupo tal que $BG$ es homotópicamente equivalente a un espacio finito. Entonces $G\times EA$ es un grupo topológico con elementos de torsión, y su espacio clasificador sigue siendo homotópicamente finito.