Probar este corolario del Teorema de la Factorización Única (de Números Enteros)...

Question

Aquí está el Corolario en su totalidad

Corolario 1.3.5 (de Números, grupos y códigos de J.F. Humphreys)

Sea $a,b \in \mathbb{Z^+}$ y que $$a=\prod_{i=1}^r p_i^{n_i}$$ $$b=\prod_{i=1}^r p_i^{m_i}$$ sean las factorizaciones primos de $a,b$ donde $p_1,\ldots,p_n$ son primos distintos y $n_1,\ldots,n_r,m_1,\ldots,m_r\in \mathbb{N}$ . Entonces el $\gcd(a,b)=d$ viene dado por $$d=\prod_{i=1}^r p_i^{k_i}$$ donde $k_i=\min(n_i,m_i)$ $\forall i$ y el $\mathbb{lcm}(a,b)=f$ viene dado por $$f=\prod_{i=1}^r p_i^{\beta_i}$$ donde $\beta_i=\max(n_i,m_i)$ $\forall i$ .

Muy bien, esto es lo que estoy pensando en lo que respecta a probar esto (es magro te lo advierto), sólo sé idea si es lo suficientemente riguroso:

Intento de prueba

Sabemos que $a=\prod_{i=1}^r p_i^{n_i}$ y $b=\prod_{i=1}^r p_i^{m_i}$ . Considere $d\in \mathbb{Z^+}$ s.t $\gcd(a,b)=d$ . Entonces, ¿cómo escribimos $d$ como una factorización prima? Bien, sabemos que $d$ divide $\prod_{i=1}^r p_i^{n_i}$ por lo que sabemos por otro teorema que $d$ debe dividir al menos uno de los primos de este producto. Un razonamiento similar sigue para $b$ .

Así que, básicamente, todo lo que he podido hacer es exponer los hechos. Creo que de alguna manera tengo que llegar al hecho de que $k_i$ será el $\min(n_i,m_i)$ . Realmente no tengo ni idea de por dónde avanzar. Me gustaría mucho resolver esto y el libro no da ninguna prueba. Una vez que pueda averiguar la $\gcd$ Creo que no tendré problemas con el $\mathbb{lcm}$ . Si alguien pudiera guiarme por el camino correcto, ¡le estaría muy agradecido!

Answer 1

Sea $$ d= \prod_{i=1}^r p_i^{k_i}. $$ Entonces $$ d\cdot\prod_{i=1}^r p_i^{m_i-k_i} = \prod_{i=1}^r p_i^{m_i} = a, $$ así que $d$ es efectivamente un divisor de $a$ . Del mismo modo, podemos demostrar que $d$ es un divisor de $b$ . Así que $d$ es un divisor común de $a$ y $b$ .

Sólo queda demostrar que no existe un máximo común divisor. Si $\ell_i>k_i$ para al menos un valor de $i$ entonces $\ell_i>m_i$ ou $\ell_i>n_i$ . Supongamos lo primero. Entonces $$ d<\prod_{i=1}^r p_i^{\ell_i}. $$ Este producto no puede ser divisor de $b$ porque $$ \frac{b}{\prod_{i=1}^r p_i^{\ell_i}} = \frac{\cdots p_i^{m_i} \cdots}{\cdots p_i^{\ell_i} \cdots} $$ y cuando reducimos a términos mínimos nos queda un factor de $p_i$ en el denominador. Por lo tanto, este producto no es un divisor común de $a$ y $b$ .

La única otra esperanza de encontrar un divisor común de $a$ y $b$ que es mayor que $d$ sería un número no de la forma $\prod_{i=1}^r p_i^{\ell_i}$ . Pero eso sería un divisor de $a$ cuyos factores primos incluyen algún número distinto de $p_1,\ldots,p_r$ . Esto queda descartado por la unicidad de las factorizaciones primos.

Answer 2

Sugerencia $\ $ Si $\ p\nmid a,b\ $ entonces $\ (p^m a, p^n b)\, =\, p^{\min(m,n)} (a,b).\ $ Recurrir a $\,(a,b).$

Prueba $ $ wlog $\,m = \min(m,n)\,$ así que $\,(p^ma,p^nb) = p^m(\color{#c00}{a,p^{n-m}}b) = p^m(a,b)\,$ por el lema de Euclides,

porque, $ $ por $ $ hipótesis, $\,\ (a,p)=1,\ $ por lo tanto, $\,\ (\color{#c00}{a,p^{n-m}})=1,\ $ otra vez, $ $ por el lema de Euclides.