Serge Lang nunca explica nada Ronda II

Question

Estoy leyendo la segunda edición de Lang, Teoría Algebraica de Números, página 221. Cito:

Sea $F$ sea un campo local, es decir, la terminación de un campo numérico en un valor absoluto. Sea $L$ sea una extensión abeliana con grupo de Galois $G$ . Entonces existe un campo numérico $k$ y una extensión abeliana $K$ con valor absoluto $v$ tal que $$ F = k_v, L = K_v$$ Por ejemplo $E$ sea un campo numérico denso en $L$ . Sea $K$ sea el compuesto de $\sigma E$ para todos $\sigma \in G$ . Entonces $K$ es estable bajo $G$ y dejamos que $k$ sea el campo fijo de $G$ . Es evidente que $k_v = F$ y, por supuesto $K_v = L$ .

De acuerdo, hasta aquí todo bien. Luego suelta esta joya:

Obsérvese que el mapa local de Artin $k_v^{\ast} \rightarrow G(K k_v/k_v)$ es inducido por el mapa global. La propiedad de consistencia del símbolo global implica que el mapa local es independiente de la extensión global $K$ en $k$ elegidos de forma que $K_v = L$ y $k_v = F$ .

'Consistencia' significa que para una extensión abeliana mayor $M$ de $k$ que contiene $K$ que la restricción de $(x, M/k)$ a $K$ es $(x, K/k)$ . Pero esto no explica en absoluto por qué el mapa local de Artin es independiente de los parámetros globales. Tendrías que demostrar que para una extensión abeliana diferente $K'/k'$ tal que $K'_w = L$ y $k'_w = F$ entonces $(x, K'/k')$ y $(y, K/k)$ puede identificarse como el mismo elemento de $G$ para $x, y$ convenientemente identificados en $k'$ y $k$ . ¿Alguna ayuda?

P.D. En realidad me gusta mucho el tratamiento de Serge Lang de ANT, me encantó su libro de texto de análisis complejo, es sólo frustrante en algunas partes porque asume que eres un Clever Warlord de nivel 99.

Answer 1

Supongamos que $K/k$ y $K'/k'$ son dos extensiones abelianas de campos numéricos, con valoraciones $v$ y $v'$ tal que $K_v=K'_{v'}=L$ y $k_v=k'_{v'}= F$ . Queremos demostrar que para $a\in F^*$ tenemos $(a,K/k)=(a,K'/k')$ cuando $a$ se considera alternativamente como un ídolo local en $J_k$ o en $J_{k'}$ .

Dado que el símbolo de Artin es compatible con isomorfismos de campos (propiedad $\mathbf{A1}$ en Lang, p.207), podemos suponer $K$ y $K'$ están ambos contenidos en un campo numérico mayor. Sea $\tilde{k}=kk'$ Elige $w$ un lugar de $\tilde{k}$ tumbado $v$ y toma $(\tilde{k}_w,w)$ sea la terminación correspondiente. Dado que las topologías de $(k_v,v)$ , $(k'_{v'},v')$ y $(\tilde{k}_w,w)$ de acuerdo, tenemos $\tilde{k}_w = k_v k'_{v'} = F$ .

Sea $a\in F^*$ y considere $a$ como elemento de $\tilde{k}_v^* \subset J_{k}$ . Desde $\tilde{k}_w = k_v$ tenemos $a = N_{\tilde{k}/k}(b)$ para algún idele local $b\in \tilde{k}_w^* \subset J_{\tilde{k}}$ es decir, la imagen de $a$ bajo la inclusión $k_v = \tilde{k}_w \subset J_{\tilde{k}}$ . Ahora por propiedades formales del mapa global de Artin (propiedad $\mathbf{A3}$ de Lang, p. 208) tenemos $(a,K/k) = (N_{\tilde{k}/k}(b), K/k) = \mathrm{res}_K (b, K\tilde{k}/\tilde{k}).$ Desde $k_v = k'_{v'}$ y $b$ es local, también tenemos $N_{\tilde{k}/k'}(b)=a\in k'_{v'}$ así que por la misma razón $(a,K'/k') = (N_{\tilde{k}/k'}(b),K'/k') = \mathrm{res}_{K'} (b,K'\tilde{k}/\tilde{k}).$ Entonces $(a,K/k)=(a,K'/k')$ se desprendería de $(b,K\tilde{k}/\tilde{k})=(b,K'\tilde{k}/\tilde{k})$ . Esto demuestra que, puesto que $K\tilde{k}/\tilde{k}$ y $K'\tilde{k}/\tilde{k}$ son abelianas, para resolver el problema basta con suponer $k=k'$ .

Si $k=k'$ entonces $\tilde{K}=KK'$ es una extensión abeliana de $k$ que contiene $K$ y $K'$ . El resultado se deduce ahora de la propiedad de consistencia del símbolo de Artin ( $\mathbf{A2}$ en Lang, p.208). Por una parte $(a,K/k) = \mathrm{res}_K (a,\tilde{K}/k)$ y por otro lado $(a,K'/k) = \mathrm{res}_{K'} (a,\tilde{K}/k)$ . Ahora $a\in J_k$ es un ídolo local en $k_v^*=k_{v'}^*$ y $K_v = K'_{v'}$ por lo que tenemos $\mathrm{res}_K (a,\tilde{K}/k)= \mathrm{res}_{K'} (a,\tilde{K}/k)$ .