Cuestión integral relacionada con variables aleatorias i.i.d.

Question

Estoy atascado en esta pregunta, agradecería cualquier ayuda para entenderlo.

Tenemos $(\Omega, M, P)$ un espacio de probabilidad. $X_1$ y $X_2$ son i.i.d. y que $S_2 = X_1 + X_2$ .

Para un número real cualquiera $d$ Me gustaría demostrar que $$ \int_{S_2 < d} X_1 \ dP = \int_{S_2 < d} X_2 \ dP. $$

¡Muchas gracias!

Answer 1

La variable aleatoria $1_{X_1 + X_2 < d} X_1$ tiene la misma distribución que $1_{X_1 + X_2 < d} X_2$ desde $X_1$ y $X_2$ son i.i.d. Y por lo tanto tienen la misma expectativa.

Answer 2

Desde $X_1$ y $X_2$ son iid, se puede escribir $$ \int_{S<d} X_1 dP = \int_\mathbb R \int_\mathbb R x_1 \ 1 \{ x_1+ x_2 < d \} d \mu(x_1) d \mu(x_2) $$ donde $\mu$ es la distribución común de $X_1$ y $X_2$ . Se obtiene lo mismo con $\int_{S < d} X_2 dP$ como $x_1$ y $x_2$ son sólo variables ficticias.