Cómo encontrar el orden de los elementos de $A_4$ ?

Question

Me pregunto cómo encontrar el orden de cada elemento en este grupo:

$A_4 = \{e,(123),(132),(124),(142),(134),(143),(234),(243),(12)(34),(13)(24),(14)(23)\}$

Intenté escribir cada elemento no en ciclo disjunto pero no me quedó bien. Obtuve 3 para todos los ciclos con 3, y 4 para los últimos ciclos

Answer 1

En general, el orden de cualquier $k$ -ciclo es $k$ .

Sin embargo, si se tiene una composición de ciclos disjuntos, digamos a $k$ -ciclo con un $l$ -ciclo, entonces el orden de la composición será $\mathrm{lcm}(k, l)$ .

(¡Pruébalo!)

Answer 2

Casi tienes razón. Recuerda que los ciclos disjuntos conmutan, y que a $2$ -el ciclo tiene orden $2$ . Así pues, los ciclos de la forma $(i,j)(k,l)$ realmente satisfacen $((i,j)(k,l))^2=\text{Id}$ donde $\text{Id}$ es la permutación de identidad. Por tanto, tienen orden $2$ no ordenar $4$ .

Answer 3

Obsérvese que para cualquier ciclo de 3 $(abc)$ , $(abc)^2=(abc)(abc)=(acb)$ y $(abc)^3=(abc)^2(abc)=(acb)(abc)=e$ la identidad. Por lo tanto, el orden de cualquier 3-ciclo es 3.

Observando que los ciclos disjuntos conmutan, es fácil ver que $((ab)(cd))^2=(ab)(ab)(cd)(cd)=e*e=e$ por lo que el orden de cualquier producto de dos transposiciones disjuntas es 2.

Answer 4

El orden de cualquier $k$ -ciclo es $k$ intenta ver por qué probando tú mismo algunos ejemplos. Ahora el disjuntos producto de $k$ -conmutan; por lo tanto, si tenemos el producto de $n$ , $k$ -ciclos, $x_1x_2,x_3,\cdots$ tendríamos $$ (x_1x_2\cdots x_n)^k=x_1^kx_2^k\cdots x_n^k $$ de modo que el orden de un producto de disjuntos $k$ -los ciclos (no necesariamente todos de la misma longitud) deben ser el mínimo común múltiplo de sus órdenes (su longitud). Como escribimos los elementos de $A_n$ en notación de ciclos disjuntos, esto hace que el cálculo de los órdenes sea una tarea rápida. Sólo asegúrate de entender por qué lo anterior es cierto (¡trata de demostrarlo formalmente por ti mismo!).