Interpretación física de los residuos

Question

¿Cuál es la interpretación física de los residuos de polos (de cualquier orden) de una función compleja? Los polos representan los puntos donde una función compleja deja de ser analítica y los residuos se calculan para resolver la integración compleja, pero tengo curiosidad acerca de su interpretación física, si la hay.

Answer 1

¡Hay una interpretación física impresionante! Se puede pensar en los polos como "fuentes de líneas vectoriales que apuntan hacia fuera". El resto de esta respuesta explica esta afirmación en detalle.

Consideremos una integral de una función compleja $f$ $$ I = \oint_C f(z) dz \, .$$ Sea $f(z) = u(z) + i v(z)$ y $dz = dx + idy$ . Entonces tenemos $$ I = \oint_C f(z) dz = \oint_C \left[ u dx - v dy \right] + i \left[ u dy + v dx \right] \, .$$ Sigue siendo poco esclarecedor. Sin embargo, consideremos un campo vectorial 2D definido como $$\vec{V} \equiv u \hat{x} - v\hat{y} \, .$$ Entonces podemos escribir $$I = \oint_C \vec{V}\cdot\vec{T} + i \vec{V}\cdot\vec{N} $$ donde en cada punto de la curva de integración $\vec{T}$ es la tangente a la curva y $\vec{N}$ es la normal a la curva. $^{[a]}$

Utilizando el teorema de Stokes y el teorema de la divergencia, podemos reescribir la integral sobre la curva $C$ como una integral sobre la superficie $S$ encerrado por $C$ : $$I = \int_S \text{curl}(\vec{V}) + i \, \text{div}(\vec{V}) $$ donde $\text{curl}$ y $\text{div}$ significa rizo y divergencia respectivamente.

Si $f$ es diferenciable satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann: \begin{align} \frac{\partial u}{\partial x} &= \frac{\partial v}{\partial y} \\ \frac{\partial u}{\partial y} &= -\frac{\partial v}{\partial x} \, . \end{align} Si nos fijamos en nuestra definición de $\vec{V}$ las ecuaciones de Cauchy-Riemann dicen exactamente que la divergencia y el rizo de $\vec{V}$ son cero. Por lo tanto, $I = 0$ . Obsérvese que esto demuestra que las integrales de $f$ son independientes de la trayectoria.

Ahora, ¿qué pasa si dejamos que $f$ tener un solo punto donde no esté definido? ¿Podemos encontrar un $f$ que es diferenciable en todas partes excepto en ese punto, pero no tiene rizo y divergencia cero? Consideremos $f(z) = 1/z$ . Expresando las partes real e imaginaria, encontramos $$u(x,y) = \frac{x}{x^2 + y^2} \qquad v(x,y) = -\frac{y}{x^2 + y^2}$$ y $$\vec{V} = \frac{x \hat{x} + y \hat{y}}{x^2 + y^2}\, .$$ Se trata de un muy campo vectorial interesante:

• Se define en todos los puntos excepto $(0,0)$ .
• Tiene rizo cero y divergencia cero en todos los lugares en los que está definida.
• Puede reexpresarse como $\hat{r} / |r|$ es decir, apunta radialmente hacia fuera desde el origen con una amplitud inversamente proporcional a la distancia desde el origen a la que se evalúa.

He aquí un diagrama

Si haces la integral $$ \int_C \vec{V} \cdot \vec{N}$$ encontrará que la respuesta es $2\pi$ si $C$ encierra el origen de lo contrario es cero. Puede comprobarlo haciéndolo explícitamente sobre la ruta parametrizada como $x = R \cos(t)$ , $y = R\sin(t)$ para $t \in [0, 2\pi]$ es decir, un círculo de radio $R$ . $^{[b]}$ Se trata de un resultado espectacularmente interesante. Normalmente, si un campo vectorial $\vec{V}$ tiene divergencia cero la integral de $\vec{V}\cdot\vec{N}$ en cualquier está garantizado que es cero por el teorema de la divergencia. Nuestro ejemplo actual $\vec{V}$ (y, por tanto, la función $f$ ) es especial porque tiene un singularidad también conocido como poste en el origen. Este campo vectorial tan especial es el sólo campo vectorial, definido en todas partes excepto en el origen, que tiene divergencia cero pero finita $\oint_C \vec{V} \cdot \vec{N}$ . $^{[c]}$

¿Qué hemos aprendido?

1. Las funciones de valor complejo pueden considerarse campos vectoriales reales. Una integral de una función compleja sobre una curva puede descomponerse en una integral del campo vectorial real asociado sobre esa misma curva. Utilizando los teoremas de la divergencia y de Stokes, estas integrales pueden escribirse como integrales de superficie del rizo y la divergencia del campo vectorial.

2. Las ecuaciones de Cachy-Riemann significan que estos campos vectoriales tienen rizo cero y divergencia cero. En consecuencia, la integración de cualquier función que satisfaga las ecuaciones de Cauchy-Riemann en una trayectoria cerrada es siempre cero.

3. Si permitimos puntos singulares existe una función especial, definida por $f(z)=1/z$ cuyo campo vectorial es un conjunto de líneas que apuntan radialmente hacia fuera. Este campo tiene la escala de amplitud justa para que, si integramos su producto escalar con el vector que apunta hacia el exterior alrededor de una curva que rodea el origen, obtengamos $2\pi$ independientemente de la forma/radio de esa curva. Esto sucede porque la amplitud escala como $1/r$ Así que si haces la curva más grande, el aumento del perímetro se cancela exactamente por la disminución de la amplitud del vector.

4. Por lo tanto, si podemos descomponer una función en una parte que no tenga singularidades y luego una parte $\sum_j c_j/(z - z_j)$ que incluye singularidades, la integral de esa función en una curva que encierra esas singularidades es simplemente $i 2\pi \sum_j c_j$ . Esta es la fórmula de residuos derivada a través de campos vectoriales.

Referencias / observaciones

• Toda esta idea se denomina "campos vectoriales de Polya".
• Se puede pensar en un polo complejo de $1/z$ como función delta en la divergencia del campo vectorial asociado.
• Existe una relación muy interesante entre estas cosas, los campos vectoriales conservativos y la noción de formas diferenciales cerradas y exactas. Véase este otro post de SE y busca "Grupos de De Rham".

$[a]$ : Para ver que $\vec{N}$ es la normal a la trayectoria, obsérvese que $\vec{T} \cdot \vec{N} =0$ .

$[b]$ : Puedes convencerte de que la integral es independiente de la trayectoria porque el rizo de $\vec{V}$ es cero.

$[c]$ : Es único hasta la adición de otros campos vectoriales con divergencia cero que no tengan ninguna singularidad.