Límite multivariable .... ¿no hay regla de L'Hopital?

Question

Estoy mirando un poco los límites para funciones multivariables por mi cuenta, y no me aclaro; mi libro sólo los menciona brevemente, pero ahora estoy mirando una "tarea para interesados" y dice

$$\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{\sin(xy)}{xy} \cos(x+y)$$

Pero eso es un $0$ en $0$ expresión... ?

¿Tenemos una regla de L'Hopital para este tipo de funciones? ¿Cómo la resolvería?

Answer 1

No existe la regla de L'Hospital para límites multivariables. Si el límite debe existir, se puede dejar que $(x,y)$ enfoque $(0,0)$ por cualquier camino. Por lo tanto, si existen dos caminos cualesquiera en los que los límites no coinciden, entonces el límite no existe en general. Por ejemplo, si hago $(x,y)\to (0,0)$ a lo largo de la línea $(t,t)$ (con $t \to 0$ ), lo he hecho: $$\lim_{t \to 0} \frac{\sin(t^2)}{t^2} \cos(2t) = 1 \ \cos(0) = 1.$$

Con esto, si el límite debe existir, será cero. En general, si utiliza cualquier línea $(t, mt)$ el límite pasará a $0$ . Si utiliza cualquier ruta polinómica $(t, a_1t + \cdots + a_nt^n)$ el límite también será cero. Tenga en cuenta que no importa cuántos caminos he comprobado, No puedo concluir que el límite es cero , porque podrían existir dos caminos que no he comprobado de forma que los límites den valores diferentes. Normalmente la estrategia es usar épsilons y deltas para probar que realmente es cero, o escribirlo como un producto de una función limitada, por una función que va a cero... (¡entiende la indirecta!)

Answer 2

Pista: $$\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{\sin (xy)}{xy} = 1$$

Y $\cos (x + y)$ es continua.

Answer 3

$$\lim_{t\to0}\frac{\sin t}t=1\qquad\lim_{t\to0}\cos t=1\qquad\lim_{(x,y)\to(0,0)}xy=\lim_{(x,y)\to(0,0)}(x+y)=0$$