Ayuda con la demostración del Lemma 1 en "A note on paracompact spaces" (Michael, PAMS 4 (5), 1953)

Question

En el papel de Ernest Michael citado en el título de esta pregunta, el siguiente Lemma es crucial, pero un paso en la prueba me confunde.

Lema 1. Sea $X$ sea un espacio regular. Entonces los siguientes son equivalentes:

1. Cada cubierta abierta de $X$ tiene un refinamiento abierto localmente finito, es decir $X$ es paracompacta.
2. Cada cubierta abierta de $X$ tiene un refinamiento localmente finito.
3. Cada cubierta abierta de $X$ tiene un refinamiento cerrado localmente finito.

He aquí la prueba dada para (3) $\implies$ (1), copiado en su mayor parte literalmente, con una anotación de la forma [?!] como referencia a continuación.

Prueba. Sea $\mathcal{R}$ sea una cubierta abierta de $X$ . Sea $\mathcal{A}$ sea un refinamiento localmente finito de $\mathcal{R}$ y que $\mathcal{B}$ sea un recubrimiento de $X$ por conjuntos abiertos, cada uno de los cuales interseca sólo finitamente muchos elementos de $\mathcal{A}$ . Ahora dejemos que $\mathcal{W}$ sea un refinamiento cerrado y localmente finito de $\mathcal{B}$ . Para cada $A \in \mathcal{A}$ , dejemos que $A' = X \setminus \bigcup \{ W \in \mathcal{W} \, | \, A \cap W = \emptyset \}$ Entonces $A'$ es un conjunto abierto [?!] que contiene $A$ y si $W \in \mathcal{W}$ entonces $W$ se cruza con $A'$ sólo si $W$ se cruza con $A$ . Para cada $A \in \mathcal{A}$ Elige una $R_A \in \mathcal{R}$ tal que $A \subset R_A$ . Sea $\mathcal{U} = \{ A' \cap R_A \, | \, A \in \mathcal{A} \}$ . Entonces $\mathcal{U}$ es un refinamiento abierto de $\mathcal{R}$ y puesto que cada elemento de la cobertura localmente finita $\mathcal{W}$ sólo interseca un número finito de elementos de $\mathcal{U}$ , $\mathcal{U}$ es localmente finita. $\square$

Debate. Sea $\mathcal{W}_A := \{ W \in \mathcal{W} \, | \, A \cap W = \emptyset \}$ . Se trata de una familia de conjuntos cerrados. Como indica [?!], no veo por qué $A' = X \setminus \bigcup \mathcal{W}_A$ es abierto, o equivalentemente por qué $\bigcup \mathcal{W}_A$ está cerrado. Mi confusión es que, en general, $\mathcal{W}_A$ es infinito. En efecto, obsérvese que la familia de conjuntos abiertos $\mathcal{B}_A := \{ B \in \mathcal{B} \, | \, A \cap B = \emptyset \}$ es cofinito en $\mathcal{B}$ por suposición. Si elegimos un mapa $b: \mathcal{W} \to \mathcal{B}$ tal que $W \subseteq b(W)$ para cada $W \in \mathcal{W}$ entonces $b^{-1}(\mathcal{B}_A) \subseteq \mathcal{W}_A$ Así que $\mathcal{W}_A$ es infinito para cada $A$ siempre que $\mathcal{B}$ es infinito. Pero entonces no veo por qué la unión $\bigcup \mathcal{W}_A$ debe ser cerrado, ya que en general una unión infinita de conjuntos cerrados no es cerrada.

Lo primero que se me ocurre es definir $\mathcal{B}'_A := \{ b(W) \, | \, W \in \mathcal{W}, \, W \cap A = \emptyset \}$ (manteniendo el mapa elegido $b$ del párrafo anterior), en lugar de $A'$ utilice $A'' := X \setminus \bigcup \mathcal{B}'_A$ . Puesto que cada $b(W)$ está abierto, $A''$ está ciertamente cerrado, pero ahora no está nada claro que $A''$ contiene $A$ ya que $b(W)$ puede intersecarse $A$ incluso cuando $W$ no lo hace. Así que este primer pensamiento no es del todo correcto.

Saliéndome del texto (compacto) para entrar en el para(compacto)texto, en realidad no creo que haya un error, porque si lo hubiera, alguien ya lo habría detectado. (En particular, Jean Dieudonné escribió la reseña que ahora está en MathSciNet, y confío en su comprensión bastante más que en la mía). Agradecería cualquier indicación de dónde he fallado en la comprensión de la prueba.

Answer 1

Tienes razón, la familia $\mathcal{W}_A$ puede ser infinita. Pero es un localmente finito familia de conjuntos cerrados y, por tanto, la unión de sus miembros es cerrada. Véase aquí ou Cierre de unión de colección localmente finita de subconjuntos igual a unión de cierres.