Regla de Bayes con 3 variables

Question

He estado utilizando el curso de Sebastian Thrun sobre IA y me he encontrado con un problema un poco difícil con la teoría de la probabilidad.

Plantea la siguiente declaración:

$$ P(R \mid H,S) = \frac{P(H \mid R,S) \; P(R \mid S)}{P(H \mid S)} $$

Entiendo que utilizó la regla de Bayes para obtener la ecuación RHS, pero no veo cómo lo hizo. Si alguien puede proporcionar un desglose de la aplicación de la regla en este problema que sería genial.

Answer 1

Paso a paso: $$\begin{align} \mathsf P(R\mid H, S) & = \frac{\mathsf P(R,H,S)}{\mathsf P(H, S)} \\[1ex] & =\frac{\mathsf P(H\mid R,S)\,\mathsf P(R, S)}{\mathsf P(H, S)} \\[1ex] & =\frac{\mathsf P(H\mid R,S)\,\mathsf P(R\mid S)\,\mathsf P(S)}{\mathsf P(H, S)} \\[1ex] & =\frac{\mathsf P(H\mid R,S)\,\mathsf P(R\mid S)}{\mathsf P(H\mid S)}\frac{\mathsf P(S)}{\mathsf P(S)} \\[1ex] & =\frac{\mathsf P(H\mid R,S)\;\mathsf P(R\mid S)}{\mathsf P(H\mid S)} \end{align}$$

Answer 2

En realidad no necesitas el Teorema de Bayes. Basta con aplicar la definición de probabilidad condicional de dos maneras. En primer lugar,

\begin{eqnarray*} P(R\mid H,S) &=& \dfrac{P(R,H\mid S)}{P(H\mid S)} \\ && \\ \therefore\quad P(R,H\mid S) &=& P(R\mid H,S)P(H\mid S). \end{eqnarray*}

En segundo lugar,

\begin{eqnarray*} P(H\mid R,S) &=& \dfrac{P(R,H\mid S)}{P(R\mid S)} \\ && \\ \therefore\quad P(R,H\mid S) &=& P(H\mid R,S)P(R\mid S). \end{eqnarray*}

Combina estos dos para obtener el resultado.