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Condición para la resolubilidad de un sistema lineal

Dado un sistema lineal Ax=b para ARn×n ¿la solución exacta x existe si b  Ker(AT) es decir, vector b es ortogonal a cada vector del espacio nulo de AT ?

Si se afirma que bim(A) ¿significa eso que la combinación lineal de las columnas de A puede producir b . En tal caso, una solución para Ax=b existe si bim(A) .

Por lo tanto, si bim(A) entonces b  Ker(AT) . ¿Se podría afirmar lo contrario? Considero que A matriz cuadrada general; ¿qué ocurriría si A ¿es simétrico?

2voto

Dave Griffiths Puntos 688

\def\im{\mathop{\mathrm{im}}}\def\rank{\mathop{\mathrm{rank}}} Supongamos que b \in \im A entonces para x \in \ker(A^T) es decir A^Tx = 0 Así que \left< x, Ab\right> = \left< A^Tx, b \right> = \left< 0,b \right> = 0 Como x \in \ker A^T era arbitraria, tenemos b \perp \ker A^T .

Así que tenemos (\ker A^T)^\perp \supseteq \im A . Contando las dimensiones, tenemos \dim(\ker A^T)^\perp = n - \dim\ker A^T = n - (n - \rank A^T) = \rank A^T = \rank A = \dim \im A . lo que demuestra que \im A = (\ker A^T)^\perp es decir Ax = b \text{ es resoluble} \iff b \in \im A \iff b \in (\ker A^T)^perp \iff b \perp \ker A^T Si A es simétrica, A^T = A Así que \im A = (\ker A)^\perp es decir Ax = b es resoluble si b \perp \ker A .

1voto

Cagri Puntos 61

Su objetivo es demostrar que \operatorname{im} A = (\ker A^T)^{\perp} o equivalentemente, (\operatorname{im} A)^{\perp} = \ker A^T .

Supongamos que y \in (\operatorname{im} A)^{\perp} . Ahora v = 0 sólo si \lVert v \rVert^2 = 0 y \lVert v \rVert^2 = v \cdot v = v^Tv así que veamos a dónde nos lleva esto. \lVert A^T y \rVert^2 = (A^Ty)^TA^Ty = y^TAA^Ty = y \cdot [A(A^Ty)] = 0 desde A(A^Ty) \in \operatorname{im} A . Así que (\operatorname{im} A)^{\perp} \subseteq \ker A^T .

Por el contrario, supongamos y \in \ker A^T y que z=Ax \in \operatorname{im} A . Entonces y \cdot z = y^TAx = (A^Ty)^Tx = 0^Tx = 0 así que y \in (\operatorname{im} A)^{\perp} . Así que \ker A^T \subseteq (\operatorname{im} A)^{\perp} y por tanto tenemos igualdad.

Así que \operatorname{im} A = (\ker A^T)^{\perp} y, por lo tanto b \perp \ker A^T si y sólo si existe algún x tal que Ax=b .

En particular, cuando A es simétrico, tenemos \mathbb{R}^n = \operatorname{im} A \oplus \ker A .

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