Su objetivo es demostrar que \operatorname{im} A = (\ker A^T)^{\perp} o equivalentemente, (\operatorname{im} A)^{\perp} = \ker A^T .
Supongamos que y \in (\operatorname{im} A)^{\perp} . Ahora v = 0 sólo si \lVert v \rVert^2 = 0 y \lVert v \rVert^2 = v \cdot v = v^Tv así que veamos a dónde nos lleva esto. \lVert A^T y \rVert^2 = (A^Ty)^TA^Ty = y^TAA^Ty = y \cdot [A(A^Ty)] = 0 desde A(A^Ty) \in \operatorname{im} A . Así que (\operatorname{im} A)^{\perp} \subseteq \ker A^T .
Por el contrario, supongamos y \in \ker A^T y que z=Ax \in \operatorname{im} A . Entonces y \cdot z = y^TAx = (A^Ty)^Tx = 0^Tx = 0 así que y \in (\operatorname{im} A)^{\perp} . Así que \ker A^T \subseteq (\operatorname{im} A)^{\perp} y por tanto tenemos igualdad.
Así que \operatorname{im} A = (\ker A^T)^{\perp} y, por lo tanto b \perp \ker A^T si y sólo si existe algún x tal que Ax=b .
En particular, cuando A es simétrico, tenemos \mathbb{R}^n = \operatorname{im} A \oplus \ker A .