Condición para la resolubilidad de un sistema lineal

Question

Dado un sistema lineal $Ax=b$ para $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$ ¿la solución exacta $x$ existe si $b~\bot~ Ker(A^T)$ es decir, vector $b$ es ortogonal a cada vector del espacio nulo de $A^T$ ?

Si se afirma que $b\in im(A)$ ¿significa eso que la combinación lineal de las columnas de $A$ puede producir $b$ . En tal caso, una solución para $Ax=b$ existe si $b\in im(A)$ .

Por lo tanto, si $b\in im(A)$ entonces $b~\bot~Ker(A^T)$ . ¿Se podría afirmar lo contrario? Considero que $A$ matriz cuadrada general; ¿qué ocurriría si $A$ ¿es simétrico?

Answer 1

$\def\im{\mathop{\mathrm{im}}}\def\rank{\mathop{\mathrm{rank}}}$ Supongamos que $b \in \im A$ entonces para $x \in \ker(A^T)$ es decir $A^Tx = 0$ Así que \[ \left< x, Ab\right> = \left< A^Tx, b \right> = \left< 0,b \right> = 0 \] Como $x \in \ker A^T$ era arbitraria, tenemos $b \perp \ker A^T$ .

Así que tenemos $(\ker A^T)^\perp \supseteq \im A$ . Contando las dimensiones, tenemos \[ \dim(\ker A^T)^\perp = n - \dim\ker A^T = n - (n - \rank A^T) = \rank A^T = \rank A = \dim \im A \]. lo que demuestra que $\im A = (\ker A^T)^\perp$ es decir \[ Ax = b \text{ es resoluble} \iff b \in \im A \iff b \in (\ker A^T)^perp \iff b \perp \ker A^T \] Si $A$ es simétrica, $A^T = A$ Así que $\im A = (\ker A)^\perp$ es decir $Ax = b$ es resoluble si $b \perp \ker A$ .

Answer 2

Su objetivo es demostrar que $\operatorname{im} A = (\ker A^T)^{\perp}$ o equivalentemente, $(\operatorname{im} A)^{\perp} = \ker A^T$ .

Supongamos que $y \in (\operatorname{im} A)^{\perp}$ . Ahora $v = 0$ sólo si $\lVert v \rVert^2 = 0$ y $\lVert v \rVert^2 = v \cdot v = v^Tv$ así que veamos a dónde nos lleva esto. $$\lVert A^T y \rVert^2 = (A^Ty)^TA^Ty = y^TAA^Ty = y \cdot [A(A^Ty)] = 0$$ desde $A(A^Ty) \in \operatorname{im} A$ . Así que $(\operatorname{im} A)^{\perp} \subseteq \ker A^T$ .

Por el contrario, supongamos $y \in \ker A^T$ y que $z=Ax \in \operatorname{im} A$ . Entonces $$y \cdot z = y^TAx = (A^Ty)^Tx = 0^Tx = 0$$ así que $y \in (\operatorname{im} A)^{\perp}$ . Así que $\ker A^T \subseteq (\operatorname{im} A)^{\perp}$ y por tanto tenemos igualdad.

Así que $\operatorname{im} A = (\ker A^T)^{\perp}$ y, por lo tanto $b \perp \ker A^T$ si y sólo si existe algún $x$ tal que $Ax=b$ .

En particular, cuando $A$ es simétrico, tenemos $\mathbb{R}^n = \operatorname{im} A \oplus \ker A$ .