¿Cómo puedo demostrar que este conjunto es linealmente independiente?

Question

Dado el conjunto:

$\{(1,,1),(,1,0),(0,1,)\}$

Para qué valores de $ \in \mathbb R$ es el conjunto una base para $\mathbb R^3$ ?

---

Decidí escribir el conjunto como una matriz:

\begin{bmatrix}1&&1\\&1&0\\0&1&\end{bmatrix}

Entonces, a través del pivote, pensé que podría averiguar si es linealmente independiente con $\dim=3$ lo que lo convertiría en una base para $R^3$ .

Sin embargo, estoy atascado.

---

¿Cómo puedo proceder?

Answer 1

Vas por buen camino. Sabemos que una matriz cuadrada tiene filas linealmente independientes precisamente cuando su determinante es distinto de cero. Así que, para comprobar la independencia lineal, puedes simplemente evaluar el determinante de tu matriz y comprobar cuando es distinto de cero. El determinante es:

$$\det\begin{bmatrix}1&β&1\\β&1&0\\0&1&β\end{bmatrix}=\beta+\beta-\beta^3=\beta(2-\beta^2)$$

que es distinto de cero para $\beta\not\in\{-\sqrt{2},0,\sqrt{2}\}$ .

Answer 2

El determinante de esa matriz es $2\beta-\beta^3$ por lo que los vectores son linealmente independientes si y sólo si $\beta\notin\{0,\sqrt2,-\sqrt2\}$ .

Answer 3

Un conjunto de tres vectores, $v_1$ , $v_2$ , $v_3$ es "dependiente" si y sólo si existen tres números, a, b y c, no todos 0, de modo que $av_1+ bv_2+ cv_3= 0$ . Y, por supuesto, son "independientes" si eso no es cierto.

Así, con $v_1= (1,\beta, 1)$ , $v_2= (\beta, 1, 0)$ y $v_3= (0, 1,\beta)$ así que tenemos que mirar $a(1, \beta, 1)+ b(\beta, 1, 0)+ c(0, 1, \beta)= (a+ \beta b, \beta a+ b+ c, a+ \beta c)= (0, 0, 0)$ . Es decir $a+ \beta b= 0$ , $\beta a+ b+ c= 0$ y $a+ \beta c= 0$ . La primera de esas ecuaciones dice $b= -\frac{a}{\beta}$ y el tercero dice $c= -\frac{a}{\beta}$ . Entonces $\beta a+ b+ c= \beta a- \frac{a}{\beta}- \frac{a}{\beta}= a\left(\beta- \frac{2}{\beta}\right)= 0$ .

O bien a= 0 lo que significaría b= c= 0 por lo que los vectores son dependientes, o bien $\beta- \frac{2}{\beta}= 0$ . $\beta= \frac{2}{\beta}$ , $\beta^2= 2$ , $\beta= \pm\sqrt{2}$ . Por supuesto, dividiendo por $\beta$ requiere que $\beta$ no sea 0. Eso hay que comprobarlo por separado y es fácil ver que (1, 0, 1), (0, 1, 0) y (0, 1, 0), ya que los dos últimos vectores son iguales. Así que los tres vectores son "dependientes" para $\beta$ igual a 0, $\sqrt{2}$ y $-\sqrt{2}$ y son "independientes" para cualquier otro valor de $\beta$ .

Answer 4

Los pivotes se realizarán mediante

Operaciones de fila:
(1) Multiplicar/dividir una fila por un escalar distinto de cero.
(2) Sumar/restar un múltiplo escalar de una fila a otra fila.
(3) Intercambia dos filas.

$$\begin{bmatrix}1&β&1\\β&1&0\\0&1&β\end{bmatrix} \mapsto \begin{bmatrix}1&β&1\\0&1-β^2&-β\\0&1&β\end{bmatrix} \mapsto \begin{bmatrix}1&β&1\\0&1&β\\0&1-β^2&-β\end{bmatrix}\mapsto \begin{bmatrix}1&β&1\\0&1&β\\0&0&β(β^2-2)\end{bmatrix}$$

Si (y sólo si) $β(β^2-2) \ne 0$ podemos dividir por ella y llegar a la forma escalonada reducida,

$$\begin{bmatrix}1&β&1\\0&1&β\\0&0&1\end{bmatrix}$$

para demostrar su independencia.