En muchos elemental de la teoría de los libros hay fotos de symetries para los objetos ( Cubos, Cuadrados, etc. ) y algún grupo que representa que simetrías.
Mi pregunta es, ¿qué propiedad de un grupo se relaciona con las simetrías, y si hay más de un tipo de simetría (por ejemplo, traslación, rotación, miroring respectivos a algún eje, etc. ), entonces podría la existencia de varios tipos de simetría se deducen directamente de los grupo determinado?
Cuando usted mira a una cifra de $F$ con algunas simetrías no ver a un grupo, pero ciertos obvio simetrías: reflexiones con respecto a diferentes ejes, simetrías de rotación se centró en diversos puntos, o traducciones, todos ellos de mapas de $\phi:\ F\to F$ respetando las incidencias, las distancias o los colorantes presentes en $F$.
De tal figura $F$ se erige sobre un terreno "set" $E$, por ejemplo, el plano euclidiano, y cualquier simetría $\phi:\ F\to F$ conlleva un bijection de $E$. De ello se sigue que ese $\phi$ tiene una inversa que es también una simetría.
Ahora viene el segundo paso, es decir, la composición de la $\psi\circ\phi$ de las simetrías. Se desprende de los principios generales sobre los mapas que cualquier finito composición de simetrías $\phi$ es de nuevo una simetría en el sentido de que las hojas de incidencias, las distancias, y el color de todos los idiomas, y que el conjunto de todas las simetrías de $F$ obtenido de esta manera se forma un grupo de $S_F\ $.
Si $F$ es una simple figura, por ejemplo, una de rosetta con un centro de $O$ $n$ deja, entonces es fácil describir $S_F\ $: es el grupo cíclico ${\mathbb Z}_n$ $n$ elementos generados por una rotación de ${2\pi\over n}$$O$, o es el diedro grupo $D_n$ que además contiene $n$ reflexiones.
Si $F$ es una complicada figura, por ejemplo, un mosaico de ${\mathbb R}^2$ por triángulos equiláteros, a continuación, inmediatamente puede ver una gran cantidad de simetrías, pero no obtener una visión general rápida sobre $S_F$. En particular, no es evidente si finita productos de rotaciones, reflexiones, etc. de nuevo, puede ser visto como tal "elemental" simetrías (con otros pivotes o ejes), o si hay nuevos tipos de movimientos presentes en $S_F$. Resulta que $S_F$ puede contener "glide reflexiones", que a lo mejor no ver al principio.
Lo que estoy tratando de decir es que la conexión entre una figura $F$ con algunas simetrías y un grupo en particular no es en absoluto trivial. En muchos tratamientos de la asignatura (o de ejemplos, como las simetrías de la $3$-cubo) la cuestión de si cualquier producto de "obvio" simetrías es de nuevo un "obvio" que la simetría no es lo suficientemente abordado.
Un grupo actúa sobre un conjunto de una manera simétrica. Es el grupo que gira o voltea la plaza. Es la definición formal de las simetrías del cuadrado.
Se puede decir que "los Grupos son simetrías", porque de un teorema de, creo, Max Dehn, que dice que, dado un grupo de $G$ generado por un conjunto $S$, el grupo tiene un Grafo de Cayley, $\Gamma(S)$, $G$ es el conjunto de simetrías de este gráfico.
Desafortunadamente, debido a la respuesta negativa a la palabra problema para grupos, uno no siempre puede construir el Grafo de Cayley de un grupo de...(porque los bucles en el gráfico corresponden a las palabras igual a $1$ en los generadores.)
Deje $G$ el conjunto de todas las transformaciones (rotaciones, mirrorings, etc.) dejando a un objeto $X$ inalterado.
$G$ está dotado de un natural asociativa de la operación: la transformación de la composición.
De hecho, si $T_1$, $T_2\in G$ a continuación,$T_1 T_2 X = T_1 X = X$, lo $T_1 T_2\in G$.
$\operatorname{id} X = X$ implica $\operatorname{id}\in G$
Si $T\in G$$T^{-1} X = T^{-1} T X = X$, por lo que también se $T^{-1}\in G$.
Las propiedades anteriores muestran $G$ puede ser considerado como un grupo.
Todos los grupos son grupos de permutaciones: que del teorema de Cayley. Las permutaciones (aka bijections) de un conjunto son sus simetrías.
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