Hallar la función conjugada

Question

Mi problema: Supongamos que $f(x)=-\ln x + e^{x}$ . Hallar la función conjugada de $f(x)$
Mi intento: En primer lugar, tengo: $domf =(0;+\infty)$ . Tenemos $f^*(y)=\displaystyle \sup_{x \in (0;+\infty)} (xy+\ln x -e^{x})$ . I set $g(x)=xy+lnx -e^{x}$ . Después de eso, tengo $g'(x)=y+1/x+e^{-x}$ . Ahora, no puedo resolver esta ecuación para encontrar la raíz. Gracias por leer mi post. Cualquier ayuda es apreciada.

Answer 1

Cometiste un pequeño error al encontrar el derivado: $$g'(x)=y+\frac{1}{x}-e^x.$$ Las raíces de $g'$ no puede obtenerse de forma cerrada. Lo mejor que se puede hacer es demostrar que $g'$ sólo tiene una raíz, por lo que $g$ tiene allí un máximo único. Para demostrarlo, consideremos $$g''(x)=-\left(\frac{1}{x^2}+e^x\right).$$