1. En primer lugar, asegúrese de tener a mano algunas referencias sobre teoría de categorías. Algunas buenas son:
2. También merece la pena conocer las ideas que conducen a $\infty$ -categorías antes de conocer su teoría propiamente dicha. Una buena referencia es el libro de John Baez Una introducción a $n$ -Categorías . Otra es la sección 1.2 de La tesis de Hellstrøm-Finnsen .
3. $\infty$ -Las categorías requieren dos requisitos previos fundamentales: la teoría de categorías modelo y los conjuntos simpliciales.
Conjuntos simpliciales. Friedman Introducción ilustrada elemental a los conjuntos simpliciales es una maravillosa introducción para principiantes. Para referencias más profundas, están los libros de May Objetos simpliciales en topología algebraica y Teoría de la homotopía simplicial por Goerss-Jardine.
Categorías de modelos. Entre las buenas referencias para la teoría de categorías de modelos se incluyen:
4. ( $\infty$ -Categorías, por último) Es difícil captar de forma precisa la idea de un $\infty$ -como un conjunto de objetos, junto con un conjunto de morfismos, un conjunto de $2$ -morfismos, etc. Hay dos maneras de abordar esta dificultad, una tradicional y otra muy reciente.
A través de Cuasicategorías. La tradicional es utilizar modelos para $\infty$ -categorías. Uno de estos modelos viene dado por un tipo especial de conjunto simplicial llamado a cuasicategoría . Este es el enfoque desarrollado por Joyal y Lurie. Para aprender la teoría de las cuasicategorías, existen:
A través de $\infty$ -Cosmoi. El segundo es el enfoque independiente del modelo de Riehl y Verity (que se está desarrollando actualmente). En lugar de axiomatizar lo que $\infty$ -categorías son vía modelos, Riehl-Verity axiomatizan el objeto matemático en el que $\infty$ -categorías viven, y lo llaman un $\infty$ -cosmos .
Cuando se trabaja con un modelo específico para $\infty$ -categorías, uno es a menudo llevado a complicados argumentos que implican su combinatoria. Por otra parte, en el marco de Riehl-Verity, es posible demostrar afirmaciones sobre $\infty$ -categorías de una forma mucho más sencilla, independiente del modelo camino
Riehl y Verity están recopilando su trabajo en un libro de texto, titulado Elementos de $\infty$ -Teoría de las categorías .
Referencias adicionales
$\infty$ -Categorías
Antecedentes de las categorías modelo y los conjuntos simpliciales
Edita: Aquí tienes algunas referencias (extra), en el formato (lejos de ser el óptimo) de un árbol de directorios.
(P.D.: Tómese este intento de guía con cautela, porque le faltan muchas cosas).
├── Complete Segal Spaces
│ ├── [BC, 10 Pages] Equivariant Complete Segal Spaces.pdf
│ ├── [Brito, 26 Pages] Segal Objects and the Grothendieck Construction.pdf
│ ├── [Rasekh, 17 Pages] A Model for the Higher Category of Higher Categories.pdf
│ ├── [Rasekh, 44 Pages] Complete Segal Objects.pdf
│ ├── [Rasekh, 478 Pages] A Theory of Elementary Higher Toposes.pdf
│ ├── [Rasekh, 61 Pages] Introduction to Complete Segal Spaces.pdf
│ ├── [Rasekh, 75 Pages] Yoneda Lemma for Simplicial Spaces.pdf
│ ├── [Rasekh, 81 Pages] Cartesian Fibrations and Representability.pdf
│ ├── [Stenzel, 21 Pages] Univalence and Completeness of Segal Objects.pdf
│ └── [Stenzel, 26 Pages] Bousfield-Segal Spaces.pdf
├── Elementary ∞-Topoi
│ ├── [Rasekh, 10 Pages] Yoneda Lemma for Elementary Higher Toposes.pdf
│ ├── [Rasekh, 30 Pages] Filter Quotients and Non-Presentable (∞,1)-Toposes.pdf
│ ├── [Rasekh, 40 Pages] A Theory of Elementary Higher Toposes.pdf
│ ├── [Rasekh, 51 Pages] Every Elementary Higher Topos Has a Natural Number Object.pdf
│ └── [Rasekh, 84 Pages] An Elementary Approach to Truncations.pdf
├── Enriched (∞,1)-Categories
│ ├── [AMR, 68 Pages] Factorization Homology of Enriched ∞-Categories.pdf
│ ├── [GH, 100 Pages] Enriched ∞-Categories via Non-Symmetric ∞-Operads.pdf
│ ├── [Haugseng, 29 Pages] Bimodules and Natural Transformations for Enriched ∞-Categories.pdf
│ └── [Haugseng, 52 Pages] Rectification of Enriched Infinity-Categories.pdf
├── General References
│ ├── [AL, 26 Pages] Exponentiable Higher Toposes.pdf
│ ├── [Arctaedius, 38 Pages] Grothendieck's Homotopy Hypothesis and the Homotopy Theory of Homotopy Theories.pdf
│ ├── [Bergner, 13 Pages] A Survey of (∞, 1)-Categories.pdf
│ ├── [Bergner, 287 Pages] The Homotopy Theory of (∞,1)-Categories.pdf
│ ├── [Bergner, 29 Pages] A Survey of Models for (∞,n)-Categories.pdf
│ ├── [Bergner, 39 Pages] Workshop on the Homotopy Theory of Homotopy Theories.pdf
│ ├── [Camarena, 45 Pages] A Whirlwind Tour of the World of (∞,1)-Categories.pdf
│ ├── [Clough, 35 Pages] An Outline of the Theory of (∞,1)-Categories.pdf
│ ├── [Dorn, 99 Pages] Basic concepts in homotopy theory.pdf
│ ├── [HF, 148 Pages] The Homotopy Theory of (∞,1)-Categories.pdf
│ ├── [Mazel-Gee, 26 Pages] The Zen of ∞-Categories.pdf
│ ├── [Porter, 37 Pages]
