Sea A = { c > 1 : existe un número natural m, tal que para cada n > m, existe un primo entre n y cn }. El postulado de Bertrand dice que A contiene 2. Mi pregunta es : ¿Es inf A = 1 ? Si no es así, ¿cuál es el mejor límite inferior conocido hasta ahora?
Respuesta
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Para demostrarlo $c = 1+\epsilon$ con $\epsilon>0.$
Usando el teorema de los números primos una vez,
$$\lim_{x \to \infty} \frac{\pi[(1+\epsilon)x] - \pi(x)}{x/ \ln x}$$
$$= \lim \frac{\pi[(1+ \epsilon)x]}{x/\ln x} - \lim \frac{\pi(x)}{x/ \ln x} $$
$$= (1+\epsilon) \lim \frac{\pi[(1+\epsilon)x]}{(1+\epsilon)x/\ln x} - 1.$$ Luego multiplicando y dividiendo por $\ln[(1+\epsilon)x]$ y volver a utilizar el PNT,
$$= (1+\epsilon) \lim \frac{\pi[(1+\epsilon)x]}{(1+\epsilon)x/\ln[(1+ \epsilon)x]} \cdot \frac{\ln x}{\ln[(1+\epsilon)x]} -1$$
$$= (1+\epsilon)\cdot \lim \frac{\ln x}{\ln x + \ln (1+\epsilon )} - 1 =(1+\epsilon) - 1 = \epsilon$$
Así que
$$\lim \frac{\pi[(1+\epsilon)x] - \pi(x)}{x/ \ln x} \sim \epsilon$$ ou
$$ \pi[(1+\epsilon)x] - \pi(x) \sim \frac{x}{\ln x }\epsilon. $$
Desde $\epsilon\frac{x}{\log x}$ es monótona creciente existe algún $x_0$ más allá de la cual hay primos en $(x, (1+\epsilon)x).$ Lo anterior se debe básicamente a Landau (cualquier error se debe a mí).
Schoenfeld demostró en 1976 que existe un primo en el intervalo $(x,(1+1/16597)x)$ para todos $x \geq 2010759.9.$ Supongo que el resultado ha sido superado y que incluso el tipo particular de resultado es de sobre todo interés histórico.
Hay un resultado de Ramare y Yannick que no he leído de 2003 que reclama una prima sobre $(x,(1+1/28313999)x$ para $x\geq 10726905041.$
Un buen resumen de resultados sobre primos en intervalos cortos se encuentra en el artículo de Yildirim, A Survey of Results on Primes in Short Intervals, y no menciona resultados de este tipo en absoluto. El teorema anterior da que para cualquier $\epsilon$ hay un $x_0$ por ahí en alguna parte. El resultado de Schoenfeld puede ser un punto de rendimientos decrecientes.
