cómo utilizarlo $f(x,y)$ encontrar $df(x,y)$

Question

Si tengo $f(x,y)= 36-x^2-4y^2$ y necesito averiguar $df(x,y)$ ¿es sólo $dx/dy$ ? También cómo encontrar la mejor aproximación afín a $f$ en $(x,y)=(2,1)$

Answer 1

Encontrar la mejor aproximación afín en $(x,y)=(2,1)$ dado

$$f(x,y)= 36-x^2-4y^2$$

Calculamos

$$\nabla f(x, y) = (-2x, -8y) \implies \nabla f(2, 1) = (-4, -8)$$

En $(x, y) = (2,1)$ tenemos

$$f(2, 1) = 36 -(2)^2 -4(1)^2 = 28$$

La mejor aproximación afín viene dada por

$$A(x, y) = \nabla f(\textbf{c}) \cdot (\textbf{x − c}) + f(\textbf{c}) = (-4,-8) \cdot(x-2,y-1)+ 28 = -4x - 8y + 44$$

Answer 2

La aproximación afín a $f(x,y)$ en $(x_0,y_0)$ también llamado linealización de $f$ en $(x_0,y_0)$ es la ecuación del plano tangente a la superficie $z=f(x,y)$ en el punto $(x_0,y_0)$ .

En consecuencia, es una función $z=L(x,y)$ con las propiedades que

1. $L(x_0,y_0)=f(x_0,y_0)$

2. $L_x(x_0,y_0)=f_x(x_0,y_0)$

3. $L_y(x_0,y_0)=f_y(x_0,y_0)$

La función que cumple estos requisitos es

$$L(x,y)=f(x_0,y_0)+f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0)$$

Si aplicas esto a tu problema deberías obtener el resultado

$$L(x,y)=44-4x-8y$$

Answer 3

$$f(x,y)= 36-x^2-4y^2$$ $$df(x,y)=\frac{\partial f}{\partial x}dx + \frac{\partial f}{\partial y}dy = -2xdx - 8ydy$$

Y aproximación afín: $$f(x_0 + dx ,y_0 + dy )=f(x_0, y_0) + df(x_0, y_0) = f(x_0, y_0) -2x_0dx - 8y_0dy$$ Sea $dx=x-x_0, \, dy = y-y_0$ $$f(x,y)=f(x_0, y_0) -2x_0(x - x_0) - 8y_0(y - y_0)$$ donde $x_0=2, \, y_0=1$