Como ya he dicho, estoy buscando una prueba rigurosa de esta afirmación: Sea $C\subseteq\mathbb{R}^2$ con $0\in int(C)$ sea un conjunto convexo compacto, entonces para cada $v\in\mathbb{R}^2$ existe un único $\lambda_v>0$ con $\lambda_v v \in\partial C$ . Todas las pruebas que he visto hasta ahora ignoran algo o dibujan sólo una imagen. Intuitivamente para mí hay $2$ casos, que deben ser contradichos. El primero es que dos puntos aislados de la semirrecta deben intersecarse $\partial C$ el segundo caso es que el rayo se encuentre en el límite, cortando a $\partial C$ incontables veces. Tal vez me estoy perdiendo algo, pero todas las pruebas hacen suposiciones que no entiendo o decir, la prueba es trivial.
Respuestas
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Supongamos que, para algunos $v\in\Bbb R^2\setminus\{(0,0)\}$ hay dos números distintos $a,b\in(0,\infty)$ tal que $av,bv\in\partial C$ . Asumiré que $a<b$ . Sea $w\in\Bbb R^2\setminus\{(0,0)\}$ tal que $w\notin\Bbb Rv$ . Desde $0\in\mathring C$ hay números $\alpha$ y $\beta$ con $\alpha<0<\beta$ tal que $(\forall t\in[\alpha,\beta]):tw\in C$ . Desde $C$ es convexo, todo el triángulo $T$ cuyos vértices son $\alpha w$ , $\beta w$ y $bv$ (Con esto me refiero a la $2$ -no sólo sus lados) es un subconjunto de $C$ . Pero $\mathring T\subset\mathring C$ . En particular, $av\in\mathring C$ . Pero se suponía que $av\in\partial C$ .
kanidrive
Puntos
16
En primer lugar, la afirmación es cierta si $\lambda_v$ debe ser positivo . No es difícil ver que si $\lambda_v$ es sólo real, de hecho hay dos coeficientes posibles.
Hay algunas formas interesantes de demostrarlo, pero responderé a sus preguntas particulares, sin orden.
- El rayo podría situarse en el límite.
Esto es imposible, ya que $0 \in \text{int}(C)$ . Después de todo, si el rayo estuviera en el límite, entonces $0v$ también lo sería, ergo $0 \in \partial C$ .
- Dos puntos aislados de la semirrecta pueden intersecarse $\partial C$ .
Supongamos que hay dos números positivos $\lambda, \xi$ para que $\lambda v$ y $\xi v$ están en $\partial C$ . WLOG, $\xi > \lambda$ . Por definición del límite, existe $\epsilon > 0$ para que $(\lambda + \epsilon)v \notin C$ (podemos elegir este punto del $\epsilon$ -bola en particular porque sabemos que el rayo no está en el límite, por mi primera respuesta). Pero como $C$ es convexa, y $\lambda + \epsilon \in (\lambda, \xi)$ tenemos el hecho contradictorio de que $(\lambda + \epsilon) \in C$ .
He aquí un esbozo de prueba diferente que quizá le resulte más agradable.
Supongamos sin pérdida de generalidad $v \in C$ . Esto puede lograrse escalando $v$ hacia abajo y, a continuación, escalando el coeficiente $\lambda$ obtenemos adecuadamente.
Triangulamos $C$ para que $0$ es un vértice. Entonces $v$ es una combinación convexa de algún triángulo $0,a,b$ :
$$v = \lambda_1a + \lambda_2 b + \lambda_3 0$$
donde $\lambda_1 + \lambda_2 = 1-\lambda_3$ y $\lambda_i \in [0,1]$ . Entonces:
$$\frac{1}{1-\lambda_3}v = \frac{\lambda_1}{1-\lambda_3} a + \frac{\lambda_2}{1-\lambda_3} b$$
Donde los coeficientes suman 1. Por lo tanto $(1-\lambda_3)^{-1}$ es el $\lambda_T$ buscamos la triangulación $T$ . Tampoco es difícil ver que esto es único.
A continuación, sólo tiene que crear triangulaciones cada vez más finas, observe que $\lambda_T$ es continua en $T$ y único en cada triangulación, y concluir el resultado.
