"Cut" (hexágono) zona del triángulo de Reuleaux

Question

Permítanme comenzar dando la razón por la que mi pregunta: como parte de una impresora 3D que estoy construyendo (Rostock), estoy tratando de averiguar el área de trabajo de la impresora. La impresora consta de 3 brazos, cada uno conectado a los puntos de un triángulo equilátero. Cada brazo puede girar en todas las direcciones en la parte frontal de su punto de unión, por lo que la alcanzable área de cada brazo es un medio círculo. El área de trabajo de la impresora es la intersección de cada uno de estos la mitad de los círculos.

Mi pregunta es: ¿cómo calcular el área de la "corte" (hexágono) triángulo de Reuleaux que aparece una vez que la longitud de los brazos se hace más largo que la distancia entre los puntos de un triángulo equilátero?

Me doy cuenta de que esto podría ser bastante vago, por lo que he adjunto dos fotos. En el primero, el alcance de brazo es corto y la intersección es un triángulo de Reuleaux. En el segundo, los brazos son más largos y el "corte" (hexágono) triángulo de Reuleaux aparece. Es el área de esta forma que estoy tratando de calcular.

Normal triángulo de Reuleaux

"Cut" (hexágono) triángulo de Reuleaux

Answer 1

Colocar los vértices de un triángulo equilátero en los puntos $(1,0,0)$, $(0,1,0)$ y $(0,0,1)$, e indicar el radio de la semicírculos por $r$. El triángulo equilátero formado por los diámetros de los semicírculos ha laterales de longitud y $2\sqrt2$, por lo que su área es $2\sqrt3$. Para encontrar la distancia de un vértice en el diámetro correspondiente a ese vértice se cruza con el semicírculo correspondiente a otro vértice, tomar el diámetro

$$ \pmatrix{1\\0\\0}+\lambda\pmatrix{0\\1\\-1} $$

y encontrar el punto en la que en la distancia $r$ desde el vértice $\pmatrix{0\\0\\1}$:

$$ 1+\lambda^2+(1+\lambda)^2=r^2\;, \\ 2\lambda^2+2\lambda+2=r^2\;, \\ \lambda=-\frac12+\sqrt{\frac{r^2}2-\frac34}\;. $$

Por lo tanto la longitud lateral de los tres pequeños triángulos equiláteros que "falta" es

$$ \sqrt2\left(1-\left(-\frac12+\sqrt{\frac{r^2}2-\frac34}\right)\right)=\sqrt2\left(\frac32-\sqrt{\frac{r^2}2-\frac34}\right)\;, $$

de modo que su superficie total es de

$$ 3\cdot\frac{\sqrt3}4\cdot2\left(\frac94+\frac{r^2}2-\frac34-3\sqrt{\frac{r^2}2-\frac34}\right)=\frac34\sqrt3\left(3+r^2-3\sqrt{2r^2-3}\right)\;. $$

Esto restando de $2\sqrt3$ deja

$$ \frac{\sqrt3}4\left(9\sqrt{2r^2-3}-3r^2-1\right)\;. $$

Ahora tenemos que volver a agregar los tres segmentos circulares que se extienden en las tres triángulos equiláteros nos resta. Su radio es $r$, y su ángulo de $\alpha$ es el doble del ángulo entre el $\pmatrix{1\\\lambda\\-\lambda}-\pmatrix{0\\0\\1}$ $\pmatrix{1\\1\\-1}-\pmatrix{0\\0\\1}$ y por lo tanto

$$ \alpha=2\arccos\frac{3(\lambda+1)}{\sqrt{6\cdot(2\lambda^2+2\lambda+2)}}=2\arccos\left(\sqrt{\frac38}\frac{1+\sqrt{2r^2-3}}r\right)\;. $$

Con la fórmula del área de un segmento circular, el área total es entonces

$$ \frac{\sqrt3}4\left(9\sqrt{2r^2-3}-3r^2-1\right)+\frac32r^2\left(\alpha\sin\alpha\right)\;. $$

Aquí está una parcela de este área total $r$ en el rango relevante $[\sqrt2,\sqrt6]$, con la zona que va desde $\pi-\sqrt3$$2\sqrt3$.

En este cálculo, el lado del triángulo equilátero se fija en $\sqrt2$; para un lado diferente de la longitud de $a$, la escala de la radio por $\sqrt2/a$ y la escala de la zona por $a^2/2$.