Los ideales de $\mathbb{Z}[X]$

Question

¿Es posible clasificar todos los ideales de $\mathbb{Z}[X]$ ? Con esto me refiero a una lista enumerable preferentemente corta que contenga cada ideal exactamente una vez, preferentemente especificada por generadores. Los ideales primos son conocido pero me interesan todos los ideales. No he podido encontrar ninguna literatura sobre esto. Ni siquiera sé el número de generadores que necesitamos (Edición: ¡Hurkyl ha señalado que aparece cualquier número!).

Un ideal de $\mathbb{Z}[X]$ se restringe a algún ideal de $\mathbb{Z}$ , digamos que $n \mathbb{Z}$ . Para $n>0$ el ideal corresponde a algún ideal en $\mathbb{Z}/n [X]$ y por CRT podemos suponer que $n$ es una potencia primera, digamos $n=p^k$ . Para $k=1$ tenemos el PID $\mathbb{F}_p[X]$ cuya estructura ideal es bien conocida. Lo que sucede para $k=2$ ? El caso $n=0$ parece ser aún más complicado.

Desde $\mathbb{Z}[X]$ es noetheriano, cada ideal es una intersección de ideales primarios, y debemos clasificarlos primero? ¿Qué pasa con otras clases especiales de ideales, por ejemplo los radicales?

Si la pregunta es demasiado ingenua en esta generalidad, ¿qué pasa con los casos especiales, o con los debilitamientos leves? Por ejemplo, ¿es posible clasificar todos los anillos conmutativos (reducidos, finitos, coprimarios, ...) generados por un solo elemento? Esto se reduce a la clasificación de los ideales de $\mathbb{Z}[X]$ modulo anillos cocientes isomorfos.

Answer 1

En primer lugar, algunos datos sencillos:

El anillo $\mathbb{Z}[X]$ tiene dimensión $2$ y es un dominio de factorización único con grupo unitario $\{\pm 1\}$ . Concluimos inmediatamente:

• Todo ideal tiene altura $0$ , $1$ o $2$ .
• El único ideal de altura $0$ es $(0)$ .
• Si la descomposición primaria de un ideal contiene sólo la altura $1$ ideales, entonces:
  • El ideal es principal
  • Estos ideales están en correspondencia uno a uno con los polinomios no nulos con coeficiente inicial positivo

Ahora dejemos que $I$ sea un ideal no principal. Supongamos que $I \cap \mathbb{Z} = (0)$ . Entonces $I \otimes \mathbb{Q}$ es un ideal propio y no nulo de $\mathbb{Q}[X]$ generado por un polinomio primitivo $g(x)$ (es decir, coeficientes enteros de gcd 1). De ello se desprende que $I = g(x) J$ donde $J \cap \mathbb{Z} \neq (0)$ .

Alternativamente, $g(x)$ se puede obtener el gcd de todos los elementos de $I$ . (el $g(x)$ así construido tendría contenido $n$ en lugar de $1$ si $I$ es divisible por $(n)$ ). Pero el anterior es el método de prueba que se me ocurrió para demostrar que el cofactor contiene un número entero.

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Tomando una táctica diferente, esencialmente por el algoritmo euclidiano cualquier ideal tiene una base de la forma

$$ I = \langle g_i(x) \mid 1 \leq i \leq k \rangle $$

donde

• $g_i(x) = c_i x^{n_i} + f_i(x)$
  • donde $c_i \in \mathbb{Z}$ , $c_i > 0$ , $\deg f_i(x) < n_i$
• $n_i < n_{i+1}$
• $c_{i+1} | c_i$ y $c_i \neq c_{i+1}$

Por ejemplo, el ideal

$$ \langle 8, 4x + 4, 2x^2 + 2 \rangle$$

De hecho, estoy bastante seguro de que esto funciona como una forma normal por el algoritmo:

• Para cada $d$ , elija (si lo hay) el polinomio más pequeño de grado $d$ en $I$
• Descarta cualquier polinomio cuyo término principal sea divisible por un polinomio elegido de menor grado

"El más pequeño", aquí, se determina comparando primero los coeficientes en $x^d$ y si estos son iguales comparando los coeficientes de $x^{d-1}$ y así sucesivamente. Los enteros se comparan primero por su valor absoluto, y si son iguales, $n$ se considera menor que $-n$ .

por ejemplo, el polinomio $4x + 4$ se considera menor que $8x$ y que $4x-4$ .

Por desgracia, no todas las opciones de $g_i$ es admisible. Por ejemplo, el ideal

$$ \langle 4, 2x+1 \rangle $$

realmente tiene forma normal

$$ \langle 1 \rangle $$

Conjeturo una secuencia de reducidas $g_i$ (lo que significa que rechazamos $\langle 8, 4x-4 \rangle$ porque podemos reducir $4x-4$ à $4x+4$ por un múltiplo monomial de $8$ ) que satisface las propiedades anteriores es la forma normal de un ideal si y sólo si $c_i \mid f_i(x)$ .

Por desgracia, no sé lo suficiente sobre la teoría de las bases de Groebner sobre anillos euclidianos como para asegurarlo.

Answer 2

Existen generalizaciones de los algoritmos de Grobner/base ideal estándar que funcionan sobre anillos de coeficientes más generales que los campos, por ejemplo, ciertos EPI (que, en particular, se aplican a $\rm\,\Bbb Z[x]).$ A estas alturas hay mucha literatura sobre estos temas. Tal vez la forma más fácil de buscarla sea empezar por las referencias que aparecen en Encuesta de Buchberger [1] sobre la historia del algoritmo de la base de Grobner.

Véase en particular el trabajo mencionado en la sección "Generalizaciones del enfoque CPC para anillos de polinomios", p. 19. Si persigues las citas del trabajo allí mencionado, te llevará rápidamente a los trabajos más recientes sobre dichas generalizaciones.

[1] B. Buchberger. Historia y características básicas del par crítico / procedimiento de finalización.
Journal of Symbolic Computation, 3(1/2) (1987) 3-38

Answer 3

Diga $I$ es un ideal. Si $I=0$ nos detenemos.
Si $I\neq 0$ , miramos el conjunto de los elementos de $I\setminus \{0\}$ con grados mínimos, en este conjunto escogemos un elemento $f_1$ con el mínimo coeficiente positivo. Si $I=(f_1)$ nos detenemos.
Si no es así, considere el conjunto $I\setminus (f_1)$ . De forma similar a la anterior, elige un elemento $f_2$ con el mínimo coeficiente positivo principal en el subconjunto de los elementos con grado mínimo. Si $I=(f_1,f_2)$ nos detenemos. Repite este proceso. Con pasos finitos, podemos parar en un paso $I=(f_1,f_2,\ldots,f_n)$ .
Podemos ver que el grado de $f_{i+1}$ es estrictamente mayor que el grado de $f_i$ para $i=1,2,\ldots, n-1$ .
Digamos que el coeficiente principal de $f_i$ es $a_i$ . Entonces $a_{i+1}| a_i$ y $a_{i}$ es estrictamente mayor que $a_{i+1}$ . Por lo tanto, podemos ver que la longitud de la cadena puede ser limitada por $a_1$ . Por ejemplo, si $a_1=1$ entonces $I=(f_1)$ , si $a_1$ es primo, entonces $I$ es generado por uno o dos elementos. Si $a_1=p^2$ , $p$ es primo, entonces $I$ puede ser generado por 3 elementos.