Sobre la tasa de crecimiento de un grupo

Question

Sea $G$ sea un grupo f.g. y $d$ sea una métrica de palabras respecto a un conjunto generador simétrico. Para $g\in G$ define $|g|:=d(g,e)$ donde $e$ es la identidad del grupo. En $k\in\mathbb N$ , poner $$n_k:=\#\{g\in G: |g|\leq k\}\quad\text{and}\quad m_k:=\#\{g\in G: |g|=k\}$$ En qué grupos $\lim_k\frac{m_k}{n_k}=0$ ?

No sé si es útil o no; todos los grupos con los que trabajo están libres de torsión.

Answer 1

La respuesta la ha dado básicamente @duh en su comentario. El grupo satisface $\frac{m_k}{n_k}\to 0$ si y sólo si las bolas son secuencias de Foelner. En particular, el grupo tiene que ser amenable.

Ahora la pregunta es ¿qué grupos amenables satisfacen que las bolas son secuencias de Foelner?

Como sugiere @duh, los grupos virtualmente nilpotentes satisfacen esta condición, pero no es necesario mencionar las secuencias de Foelner. Sabemos que los grupos virtualmente nilpotentes tienen crecimiento polinómico. Normalmente, esto se expresa como $a_1k^d-b_1\leq n_k\leq a_2k^d+b_2$ para algunos $a_1,b_1,a_2,b_2$ donde $d$ es la dimensión homogénea del grupo. Sin embargo, Pansu mejoró este resultado, demostrando que $n_k\sim ck^d$ para alguna constante $c$ . En particular, $\frac{n_k}{n_{k-1}}$ converge a 1 y puesto que $m_k=n_k-n_{k-1}$ tenemos que $\frac{m_k}{n_k}$ converge a 0.