En general $d \phi (X)$ no está definido $X$ siendo un campo vectorial

Question

Sea $\phi:M\to N$ sea un mapa suave entre variedades y $X$ un campo vectorial en $M$ . Además, supongamos que $d\phi$ es inyectiva en cada punto. Quiero demostrar que en general $d\phi (X)$ no está definido como campo vectorial en $N$ . (Los campos vectoriales no se suponen lisos).

Considere el mapa $e: \mathbb R \to S^1$ definido por $e(t)=(cos(t),sin(t))$ . $X$ es el mapa de identidad en $\mathbb R$ . Mis cálculos han demostrado que se trata de un contraejemplo. ¿Es correcto?

( $de_t(a)= (-a\sin(t),a\cos(t))$ que implica $de$ siendo inyectiva, y $e(0)=e(2\pi)$ con $de(0)$ no igual a $de(2\pi)$ .)

Answer 1

Esta elección da efectivamente un contraejemplo, pero la explicación se beneficiaría de algún pulido, sobre todo porque el campo vectorial elegido $X \in \Gamma(T \Bbb R)$ , $X_s := t \partial_s$ así como el uso de los isomorfismos canónicos $T_s \Bbb R \cong \Bbb R$ Eso puede llevar a confusión. (El campo vectorial $X$ a veces se denomina Campo vectorial de Euler .)

El mapa elegido es $$e : \Bbb R \to S^1 \subset \Bbb R^2, \qquad e : t \mapsto (\cos t, \sin t),$$ y así $$de_s(a \partial_t\vert_s) = (-a \sin s, a \cos s),$$ donde utilizamos implícitamente la identificación canónica $T_{e(s)} \Bbb R^2 \cong \Bbb R^2$ . Como tú dices, $e(0) = e(2 \pi)$ pero $$de_0 (X_0) = de_0 (0 \partial_t\vert_0) = (0, 0) \in T_{(1, 0)} S^1$$ pero $$de_{2 \pi} (X_{2 \pi}) = de_{2 \pi} (2 \pi \partial_t \vert_{2 \pi}) = (0, 2 \pi) \in T_{(1, 0)} S^1 .$$ Así $e$ y $X$ no determinan un vector preferente en $T_{(1, 0)} S^1$ y por tanto no determinan un campo vectorial preferente en $S^1$ .

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Como se ha discutido en los comentarios, otra forma de demostrar que el avance de los vectores en un campo vectorial $X \in \Gamma(TM)$ mediante un mapa $F : M \to N$ no determina un campo vectorial en $N$ es considerar cualquier campo vectorial $X$ y cualquier mapa no proyectivo $F$ . Si $q \in N$ no es a imagen y semejanza de $F(M)$ el conjunto $\{dF_p(X_p) : p \in M\}$ no contiene ningún vector en $T_q N$ y por lo tanto $F$ y $X$ no especifican un campo vectorial en $N$ .