Mi teoría de la recursividad conocimiento se ha vuelto un poco oxidado, así que agradezco cualquier corrección de errores.
Gödel del teorema de la incompletitud es a menudo explotados por las discusiones filosóficas que pasar por alto el hecho de que en el fin de aplicar el teorema de Gödel, uno debe tener recursiva (o recursivamente enumerable) conjunto de axiomas.
De hecho, aquí es lo que yo pienso de Gödel del teoremas: $Th(\mathbb{N},+,*,0,1)$ tiene grado de Turing $0^{(\omega)}$. Por lo tanto, a menos que nuestro sistema de axiomas es lo suficientemente complicado, no podemos esperar a probar cada declaración verdadera acerca de los números naturales el conjunto de los teoremas de un axioma conjunto de Turing grado $A$ es recursivamente enumerable en $A$.
Hoy en día, yo estaba teniendo una discusión con un amigo sobre el segundo teorema de la incompletitud y se me ocurrió decir que puede ser violada, mientras mantenemos nuestro axioma conjunto de cómputo bastante complicada. Entonces, se me ocurrió que yo no pueda estar haciendo ningún sentido.
Supongamos que elegimos una completa coherente teoría de la $T$ ampliación de PA en el lenguaje de la PA, como $Th(\mathbb{N},+,*,0,1)$. Para$T=Th(\mathbb{N},+,*,0,1)$, ¿cómo podemos estatales que $T$ es consistente?
Por el Post del teorema, la fórmula de la definición de un subconjunto de los números naturales en la aritmética jerarquía de definir un subconjunto de Turing grado $\leq 0^{(k)}$ algunos $k \in \omega$. Pero entonces, este conjunto no es posible definir $T$ desde $0^{(\omega)}$ no es recursivamente enumerable en $0^{(k)}$. Por lo tanto, $T$ no puede ser aritméticamente definibles.
Si hay justicia en el mundo, debe haber alguna manera de ver que la verdadera aritmética "cree" que es consistente. ¿Cuál es la manera correcta de pensar acerca de esto? ¿Cuál es la correcta interpretación? En particular, hay una manera de interpretar dentro de $T$ (en el lenguaje de la PA) el hecho de que $T$ es consistente .
Básicamente, mi propósito es llegar a un nivel suficientemente fuerte y computacionalmente complicada teoría de que puede "violar" el segundo teorema de la incompletitud. No tenemos que trabajar en el lenguaje de la PA. Saltar al conjunto de teorías como la que ZFC es bueno siempre y cuando se logra el propósito.
Pensé que la verdadera aritmética era la opción más obvia, pero no lo es, ya que requiere de $T$ a ser aritméticamente definibles incluso a escribir la declaración de $Con(T)$. Por otro lado, de que no tiene que pegarse a $Con()$ a afirmar que una teoría es consistente. Estoy abierto a cualquier sugerencia (como fórmula esquemas, etc.) mientras usted viene para arriba con una manera razonable de decir que $T$ es consistente.
