Irracionalidad de las series racionales infinitas

Question

(1) La suma de dos números racionales es un número racional.

(2) La serie $$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{2n+1} = \frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \cdots = \frac{\pi}{4}$$ es irracional.

La ecuación (2) es repetir (1) infinitas veces. Entonces, ¿por qué (2) no es racional? Entiendo que es el infinito el que lo estropea todo, pero no puedo entender por qué.

Answer 1

El problema es que "sumar" y "sumar" son dos cosas distintas.

La suma, como en (2), requiere tanto el acto de sumar como el de tomar límites.

Y sabemos que tomar los límites de los números racionales no preserva la racionalidad.

(existe una secuencia convergente a $\sqrt{2}$ en $\mathbb{Q}$ por ejemplo )