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¿MLE de β en la distribución gamma?

Así que tengo el pdf para la distribución gamma, $$f(x) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)} \beta^\alpha x^{\alpha - 1} e^{-\beta x} $$ y estoy teniendo problemas para llegar a la MLE de $\beta$ , que debería ser $\frac{\alpha}{\overline{x}}$ . Sigo metiendo la pata a la hora de coger el log pero no se muy bien donde. Gracias.

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