Respuesta parcial. Muestra, por ejemplo, que si $N$ es suficientemente grande y satisface $P^*(N)^2\leq N$ entonces $N\in S$ . (Creo que los métodos utilizados en el documento son lo suficientemente potentes como para responder a la pregunta por completo, En curso)
La condición de que las excepciones sean múltiplos diminutos de potencias primos me recordó los estudios sobre la representación de la unidad como suma de fracciones egipcias de P. Erdös, E. S. Croot y G. Martins.
Después de buscar un poco en Google, encontré el siguiente artículo de Greg Martin, Fracciones egipcias más densas Acta Arith.
Para cualquier $y>1$ un número real, $\pi^*(y)$ denotan el número de potencias primos menores que $y$ y para cualquier número entero positivo $n$ , $P^∗(n)$ denota la mayor potencia prima que divide a $n$ .
En el documento anterior, se demuestra en la proposición 7 que,
Proposición 7. Sea $y$ sea un número real suficientemente grande, y sea $\frac{a}{b}$ sea un número racional que cumple $\frac{a}{\log(y)} < \frac{a}{b} < 1 $ y $P^∗(b) \leq y$ . Entonces existe un conjunto $S$ de enteros que satisfagan:
- (i) $S$ se encuentra en $[1, 2y^4]$ ;
- (ii) $|S| = 2π^∗(y)$ ;
- (iii) $a/b = \sum_{s\in S} \frac 1 s$
Después de revisar la demostración de esta proposición, si no nos importa el tamaño, entonces podemos demostrar lo siguiente (ya contenido en la demostración de la proposición 7).
Proposición : Sea $y$ sea un número real suficientemente grande, y sea $\frac{a}{b}$ sea un número racional que cumple $\frac{a}{\log(y)} < \frac{a}{b} < 1 $ y $P^∗(b) \leq y$ . Entonces existe un conjunto $S$ de enteros que satisfagan:
- (i) $S$ se encuentra en $[1, y^2]$ ;
- (iii) $a/b = \sum_{s\in S} \frac 1 s$
Como corolario de esta proposición, se puede demostrar que para cualquier número grande $N$ tal que $P^*(N)^2\leq N$ existe un conjunto $S\subset [1,N-1]$ tal que : $$\frac 1 n =(\frac 12+\frac 13 +\frac 1 6)- \sum_{s\in S} \frac 1 s $$
Tomando $\frac a b = \frac {n-1} n $ , $y=\sqrt n $ .
