Lo que sigue es parte de un problema de uno de nuestros exámenes de muestra anteriores:
Sea $E$ sea un subconjunto medible de $\mathbb{R}$ . Supongamos que $f$ : $E \mathbb{R}$ es una función medible, $f_n$ : $E \mathbb{R}$ es una sucesión creciente de funciones medibles de valor real tales que $f_kf$ a.e. Para un número real $a$ define $M_f(a):=m\{x\in E:f(x)>a\}$ donde $m\{\cdot\}$ denota la medida de Lebesgue. Entonces $M_{f_k}\leq M_{f_{k+1}}$ y $M_{f_k}M_f$ .
La primera parte (desigualdad) es obvia, pero tengo problemas para demostrar la segunda (convergencia), aunque parece sencilla e intuitiva. He escrito el conjunto en el que $f(x)>a$ y $f_k(x)\leq a$ y trató de reescribir con cosas como $a-\frac{1}{k}$ pero no pudo relacionarlo con la medida.
Cualquier sugerencia o ayuda será muy apreciada.
