¿Existe una cota inferior para la siguiente expresión racional, en términos de $b^2$ ?

Question

En el siguiente, $b$ y $r$ son enteros positivos.

¿Existe un límite inferior para la siguiente expresión racional, en términos de $b^2$ ?

$$L = \frac{b^2\left(2^{r+1} b^2(2^r-1) + 3\cdot 2^r - 2\right)}{\left(2^{r+1} - 1\right)(2^r b^2 + 1)}$$

Lo que sí sé es que (un límite superior bruto es) $L < b^2$ . Mi pregunta es: ¿Es posible obtener un límite inferior para $L$ en términos de $b^2$ ¿Solo?

Edición: He aquí un intento de obtener un límite inferior (aproximado) para $L$ utilizando como máximo $r \geq 1$ y la desigualdad AM-GM.

Desde $r \geq 1$ el numerador de $L$ es

$$b^2\left(2^{r+1} b^2(2^r-1) + 3\cdot 2^r - 2\right) \geq 4b^4 + 4b^2 = 4{b^2}(b^2 + 1).$$

Ahora, para el denominador de $L$ utilizamos la desigualdad AM-GM para obtener

$$\left(2^{r+1} - 1\right)(2^r b^2 + 1) \leq \frac{\left(2^{r+1} + 2^r b^2\right)^2}{4}.$$

Simplificando, obtenemos

$$\left(2^{r+1} - 1\right)(2^r b^2 + 1) \leq \left(2^r + 2^{r-1} b^2\right)^2 < 2^{2r}(b^2 + 1)^2.$$

En consecuencia, por fin lo he conseguido:

$$L > \frac{2^{2-2r}\cdot{b^2}}{b^2 + 1}$$

que se sigue expresando en términos de la variable adicional $r$ .

Me preguntaba si alguien por ahí tiene alguna idea brillante sobre cómo eliminar $r$ de un (esperemos) no trivial límite inferior para $L$ en términos de $b^2$ .

Gracias.

Answer 1

$$\frac{b^2\left(2^{r+1} b^2(2^r-1) + 3\cdot 2^r - 2\right)}{\left(2^{r+1} - 1\right)(2^r b^2 + 1)}=\frac{2^{r+1}(2^r-1)b^4 + (3\cdot 2^r - 2)b^2}{\left(2^{r+1} - 1\right)2^r(b^2 + 2^{-r})}=\frac{b^4 + \frac{3\cdot 2^r - 2}{2^{r+1}(2^r-1)}b^2}{\left(1 +\frac{2^r}{2^r-1}\right)(\frac{1}{2}b^2 + 2^{-r-1})}\geq b^2\frac{b^2+3\cdot 2^{-r-1}- \frac{1}{2^{r}(2^r-1)}}{b^2+2^{-r}}\geq b^2\frac{b^2+2^{-r}+2^{-r-1}-2^{-2r+1}}{b^2+2^{-r}}\geq b^2$$

Answer 2

Despegando de Matt 's respuesta, entiendo:

$$\frac{1}{2}\left(1 + \frac{2^r}{2^r - 1}\right)(b^2 + 2^{-r}).$$

Necesitamos un límite superior para $\frac{1}{2}\left(1 + \frac{2^r}{2^r - 1}\right)$ .

Tenemos el límite superior:

$$\frac{1}{2}\left(1 + \frac{2^r}{2^r - 1}\right) = \frac{1}{2}\left(2 + \frac{1}{2^r - 1}\right) \leq \frac{3}{2}$$

desde $r$ es un número entero positivo (y por lo tanto podemos tomar $r \geq 1$ ).

En consecuencia, ahora tenemos el límite inferior (ajustado):

$$\frac{b^2\left(2^{r+1} b^2(2^r-1) + 3\cdot 2^r - 2\right)}{\left(2^{r+1} - 1\right)(2^r b^2 + 1)}=\frac{2^{r+1}(2^r-1)b^4 + (3\cdot 2^r - 2)b^2}{\left(2^{r+1} - 1\right)2^r(b^2 + 2^{-r})}=\frac{b^4 + \frac{3\cdot 2^r - 2}{2^{r+1}(2^r-1)}b^2}{\left(1 +\frac{2^r}{2^r-1}\right)(\frac{1}{2}b^2 + 2^{-r-1})}\geq \left(\frac{2}{3}{b^2}\right)\frac{b^2+3\cdot 2^{-r-1}- \frac{1}{2^{r}(2^r-1)}}{b^2+2^{-r}}\geq \left(\frac{2}{3}{b^2}\right)\frac{b^2+2^{-r}+2^{-r-1}-2^{-2r+1}}{b^2+2^{-r}}\geq \frac{2b^2}{3}.$$

Espero que lo que he escrito sea correcto =)