Dos definiciones de la función de Green

Question

En la literatura, por lo general dos tipos de definición existe para la función de Green.

1. $\hat{L}G=\delta(x-x')$. Esta ecuación establece que la función de Green es una solución para una ODA suponiendo que la fuente es una función delta

2. $G=\langle T\psi(x_1,t_1)\psi^\dagger(x_2,t_2)\rangle$. Esta definición establece que la función de Green es algo así como un propagador.

Quiero saber la relación interna entre las dos definiciones.

Answer 1

En primer lugar, el término "propagador" se define generalmente como la de la función de Green del primer tipo, no el segundo tipo, es decir, como una solución a la diffential ecuación de $\hat L G = \delta$.

En cualquier caso, esas definiciones son en última instancia equivalente – cuando los detalles son correctamente escrito – porque la función de Green se define como la correlación en la segunda definición obedece a la primera ecuación diferencial.

El diferencial de operador $\hat L$ es lo que aparece en el lineal de las ecuaciones de movimiento para el campo, en este caso $\psi(x_1,t_1)$, y sólo actúa sobre $\psi(x_1,t_1)$, no $\psi^\dagger (x_2,t_2)$.

El tiempo-ordenar operador $T$ puede ser escrito en términos de la función de paso de $$ T(\psi \psi^\dagger) = \psi \psi^\dagger\cdot \theta(t_1-t_2) - \psi^\dagger \psi\cdot\theta(-t_1+t_2)$$ donde $\psi$ está siempre a $x_1,t_1$$\psi^\dagger$$x_2,t_2$. Ahora, pregunte lo que sucede cuando usted actuar con $\hat L$ en el lado derecho de la ecuación anterior muestra.

Por la regla de Leibniz, no son los términos con $\hat L \psi = 0$. Se desvanece por las ecuaciones de movimiento. Pero hay más términos donde $\hat L$ actúa sobre el paso de las funciones.

El operador $\hat L$ contiene el término, que la diferencia con respecto a $t_1$ multiplicado por un coeficiente de $C$. Esto convierte a $\theta(t_1-t_2)$$\delta(t_1-t_2)$. Lo mismo ocurre en el siguiente plazo, pero con el signo opuesto al que cancela la señal de que ya estaba allí. Así, los términos adicionales son $$ \hat L T(\psi \psi^\dagger) = C\delta(t_1-t_2) (\psi \psi^\dagger + \psi^\dagger \psi)$$ Tengo dos términos porque había dos términos. Sin embargo, estos dos términos exactamente combinan a la anticommutator de $\psi$$\psi^\dagger$, que sólo debe ser evaluado para $t_1=t_2$, el equivalente a tiempo anticommutator, y el resultado es $D\cdot \delta(x_1-x_2)$.

Es por eso que la acción de la $\hat L$ sobre el correlacionador termina siendo $CD\delta(t_1-t_2)\delta(x_1-x_2)$ donde las constantes $C,D$ son en su mayoría sólo factores de $i$ etc.

Para bosonic campos, $\hat L$ tiene la segunda derivada con respecto al tiempo. Uno de los derivados tiene la suerte como en el anterior, el otro se convierte al otro en $\phi$, que desempeña el papel de $\psi^\dagger$, en $\partial_t \phi$ que es la canónica impulso, y es la variable de la derecha que tiene el $\delta$-función-como colector. También, el intermedio signo es el opuesto, pero el resultado es el mismo, algunas de $CD\cdot\delta\cdot\delta$.

Answer 2

Si conecta el propagador en la ecuación de movimiento que usted va a obtener un $\delta$ función. La segunda, la "definición" es sólo una receta para calcular la función de Green en un campo libre de la teoría.

Answer 3

Otra manera de encontrar una equivalencia, es expresar la función de Green a través de las soluciones de la ecuación - escribe su representación espectral: $$G(x_1,x_2,t_1,t_2)=\sum_n \psi^*_n(x_1)\psi_n(x_2)e^{iE_n(t_1-t_2)}$$ o algo como eso.