¿Cuántos órdenes de infinito hay?

Question

Definir una función de crecimiento sea una función monótona creciente $F: {\bf N} \to {\bf N}$ así, por ejemplo $n \mapsto n^2$ , $n \mapsto 2^n$ , $n \mapsto 2^{2^n}$ son ejemplos de funciones de crecimiento. Digamos que una función de crecimiento $F$ domina otro $G$ si se tiene $F(n) \geq G(n)$ para todos $n$ . (En su lugar, se podría pedir dominación final en el que se trabaja con $n$ solamente, o dominación asintótica en la que se permite una constante multiplicativa $C$ Pero parece que las respuestas a las preguntas siguientes son básicamente las mismas en ambos casos, así que me quedo con la formulación más sencilla).

Llamemos a una colección ${\mathcal F}$ de las funciones de crecimiento completa cofinal si cada función de crecimiento está dominada por al menos una función de crecimiento en ${\mathcal F}$ .

El argumento de la diagonalización de Cantor nos dice que un conjunto cofinal de funciones de crecimiento no puede ser contable. Por otra parte, el conjunto de todas las funciones de crecimiento tiene la cardinalidad del continuo. Por tanto, según la hipótesis del continuo, un conjunto cofinal de funciones de crecimiento debe tener necesariamente la cardinalidad del continuo.

Mi primera pregunta es: ¿qué ocurre sin la hipótesis del continuo? ¿Es posible tener un conjunto cofinal de funciones de crecimiento de cardinalidad intermedia?

Mi segunda pregunta es más vaga: ¿hay alguna forma más sencilla de ver el conjunto de funciones de crecimiento bajo dominación (o dominación asintótica) que facilite responder a preguntas como ésta? Idealmente me gustaría "controlar" este poset en algún sentido mediante algún otro objeto mejor comprendido (por ejemplo, el primer ordinal incontable, los números naturales no estándar o la compactificación Stone-Cech de los números naturales).

EDIT: anotación actualizada a la vista de las respuestas.

Answer 1

Creo que existe un conjunto completo de funciones de crecimiento de cardinalidad intermedia. Esto se basa en un debate anterior sobre un tema relacionado aquí . En particular La respuesta de Joel David Hamkins parece responder afirmativamente a la pregunta.

Answer 2

Me gustaría hacer dos observaciones sobre el aspecto topológico de la propuesta de Terence Tao. Los cardenales $\frak b$ y $\frak d$ aunque definidos "aritméticamente", son de hecho equivalentes a algunos parámetros de incompletitud del Álgebra de Boole $P (\omega) / fin$ equivalentemente del espacio $\omega^* = \beta\omega \setminus \omega$ .

1A) Efectivamente: $\frak b$ es el cardinal más pequeño de una familia $\mathcal B$ de subconjuntos cerrados de $\omega^*$ tal que, para una familia contable $\mathcal A$ "desarticulado" de $\mathcal B$ (y esto significa que para todos $A$ en $\mathcal A$ y todos $B$ en $\mathcal B$ la reunión $A \wedge B = 0$ ), $\mathcal A$ y $\mathcal B$ no pueden estar separados por un conjunto clopen. Esto está bien definido porque $P (\omega) / fin$ no es contablemente completo, es decir, no es necesario que los subconjuntos contables tengan el límite superior mínimo.

Por otra parte, es bien sabido que $P (\omega) / fin$ posee la llamada propiedad de separación de du Bois-Reymond (esto significa que las disjuntas $\mathcal B$ , $\mathcal A$ pueden separarse cuando ambas familias son contables). Un espacio compacto con esta propiedad se denomina $F$ -(aunque no sea booleana, es decir, de dimensión cero), y el álgebra booleana se denomina (por Eric van Douwen) débilmente contablemente completa.

1B) Ahora, con respecto al cardinal $\frak d$ que es nuestra principal preocupación: $\frak d$ es el cardinal más pequeño para un $\mathcal B$ de modo que, para algunos $\mathcal A$ desarticulado de $\mathcal B$ , $\mathcal A$ y $\mathcal B$ no puede ser "débilmente separado por la izquierda". Esto significa que no hay ningún conjunto cerrado $C$ tal que $\forall \ A \in \mathcal A$ , $A \leq C$ y $\forall \ B \in \mathcal B$ , $B - C \neq 0$ .

Estos hechos son, prácticamente, obvios (por lo que no he podido encontrar una referencia formal ni siquiera en la excelente monografía de Andreas Blass que menciona en su respuesta).

2) Mi segunda observación es que el $\frak b$ y $\frak d$ así que redefinido para $P (\omega) / fin$ son (a pesar de su origen "aritmético") perfectamente aplicables a cualquier álgebra booleana/espacio booleano que no sea contablemente completo, y que miden el grado cardinal aproximado de tal incompletitud.

(3) También tengo cierta perplejidad sobre la simetría a en la definición (revisada) de $\frak d$ .