$ \cos(2 \pi x)$ , $ \cos(4 \pi x)$ , $ \cos(8 \pi x)$ , $ \cos(16 \pi x)$ y $ \cos(32 \pi x)$ son todas no positivas

Question

$ \cos(2 \pi x)$ , $ \cos(4 \pi x)$ , $ \cos(8 \pi x)$ , $ \cos(16 \pi x)$ y $ \cos(32 \pi x)$ son todas no positivas. ¿Cuál es el menor positivo $ x$ ?

He intentado rangos para cada uno de cos(?)..que no funcionó

Answer 1

Suponiendo que $x\in(0,1)$ sea la representación binaria de $x$ sea $\overline{0.a_1a_2a_3\dots}_2$

La condición de que $\cos(2\pi x)\le0$ es equivalente a $(a_1,a_2)=(0,1)\text{ or }(1,0)$ (o técnicamente $x=\frac34$ pero tenga en cuenta que $\frac34=0.10111\dots_2$ )

Del mismo modo, el resto son equivalentes $(a_2,a_3),(a_3,a_4),\dots,(a_5,a_6)\in\left\{(0,1),(1,0)\right\}$ y se puede ver que el más pequeño de tales $x$ es $0.010101_2$ o $\frac{21}{64}$ .