$R(A) = C(A)$ para matriz no invertible implica diagonalizable?

Question

Sea $A$ sea una matriz cuadrada no invertible tal que $Rows(A) = Cols(A)$ (Abarcan el mismo espacio vectorial).

Demostrar o refutar - $A$ es diagonalizable.

Intenté con todas mis fuerzas encontrar un ejemplo refutable de esta matriz $A$ pero siempre termino con una matriz que cumple las condiciones.

Se siente un poco que podría probar que tal matriz $A$ es simétrica y, por tanto, según el teorema espectral, también es diagonalizable.

¿Alguna pista? Gracias.

Answer 1

La respuesta es no. Por ejemplo, la matriz $$ \pmatrix{1&1&0\\0&1&0\\0&0&0} $$ tiene los mismos espacios de fila y columna, pero no es diagonalizable.