¿Cómo es este polinomio cúbico en $P^2$ ?

Question

Estoy programando una solución al problema de Lamb para una fuente puntual en 3-D que se describe en Richards (1979), pero me confunde cómo el polinomio

$$(A - 2P^2)^4 - 16X^2Y^2P^4$$

es cúbico en $P^2$ . $\\$

Las cantidades adimensionales $A, T, X, \ \text{and} \ Y$ se definen como: $\\$

$$\begin{aligned} A &= \frac{\alpha^2}{\beta^2} (\alpha=\text{P-wave speed}, \ \beta=\text{S-wave speed})\\ T &= \frac{\alpha t}{r} (t=\text{time}, \ r=(x_1^2 + x_2^2)^{1/2} \ (x_1, x_2) \ \text{being the location of the receiver at the free surface.)}\\ X &= (1 - P^2)^{1/2} \ \text{or} \ -i(P^2 - 1)^{1/2} \\ Y &= (A - P^2)^{1/2} \ \text{or} \ -i(P^2 - A)^{1/2} \\ \end{aligned}$$ $\\$

Aparentemente, $$(A - 2P^2)^4 - 16X^2Y^2P^4 = 16(1 - A)(P^2 - R_1)(P^2 - R_2)(P^2 - R_3)$$ donde $R_1, R_2, \ \text{and} \ R_3$ son raíces de la cúbica de Rayleigh en $P^2$ . $\\$

Richards señala que un enfoque eficaz sería encontrar la raíz más grande con $R_3^{1/2} = \frac{\alpha^2}{\gamma^2}$ ( $\gamma =$ velocidad de la onda Rayleigh) y factorizar $P^2 - R_3$ de la cúbica y resolver una cuadrática para $R_1$ y $R_2$ . $\\$

En última instancia necesito ser capaz de resolver las raíces para cualquier $A$ Así que pensé en ponerlo en forma polinómica estándar y usar un algoritmo como numpy.roots([c1, c2, c3, c4]), donde c1, c2, c3 y c4 son los coeficientes del polinomio en forma estándar. Esto tiene sentido, pero el polinomio es cuártico en $P^2$ cuando lo amplíe. $\\$

Entiendo perfectamente las formas de resolver las raíces de un polinomio, pero no puedo entender cómo es que éste es un polinomio cúbico como lo describe Richards. Está claro que no entiendo lo que Richards quiere decir con "cúbico en". $P^2$ '. $\\$

Si alguien pudiera explicarme qué significa esto, sería de gran ayuda.

Answer 1

$X = (1 - P^2)^{1/2} \ \text{or} \ -i(P^2 - 1)^{1/2}$

$\\ Y = (A - P^2)^{1/2} \ \text{or} \ -i(P^2 - A)^{1/2}$

Suponiendo que el " o " están emparejados entre sí, esto significa que $\,X^2Y^2=(1-P^2)(A-P^2)\,$ o $\,X^2Y^2=(-i)^2(P^2-1)(-i)^2(P^2-A)=(-i)^4(P^2-1)(P^2-A)=(1-P^2)(A-P^2)\,$ . Entonces:

$$\require{cancel} \begin{align} (A - 2P^2)^4 - 16X^2Y^2P^4 &= \big(A^4 - 8 A^3 P^2 + 24 A^2 P^4 - 32 A P^6 + \bcancel{16 P^8}\big) \\ &\quad - 16 P^4 \big(A - (A+1)P^2 + \bcancel{P^4}\big) \\ &= 16\big(- A + 1\big) P^6 + 8A \big( 3 A - 2) P^4 - 8 A^3 P^2 + A^4 \end{align}$$

Este último es un polinomio en $\,P\,$ que contiene únicamente el $\,0^{th}, 2^{nd}, 4^{th}, 6^{th}\,$ potencias, por lo que un cúbico en $\,P^2\,$ .