Integral $\int_1^\infty\operatorname{arccot}\left(1+\frac{2\pi}{\operatorname{arcoth}x-\operatorname{arccsc}x}\right)\frac{\mathrm dx}{\sqrt{x^2-1}}$

Question

Considera la siguiente integral: $$\mathcal{I}=\int_1^\infty\operatorname{arccot}\left(1+\frac{2\,\pi}{\operatorname{arcoth}x\,-\,\operatorname{arccsc}x}\right)\frac{\mathrm dx}{\sqrt{x^2-1}}\,,$$ donde $\operatorname{arccsc}$ es el cosecante inversa , $\operatorname{arccot}$ es el cotangente inversa y $\operatorname{arcoth}x$ es el cotangente hiperbólica inversa .

La integración numérica aproximada sugiere una posible forma cerrada: $$\mathcal{I}\stackrel?=\frac{\pi\,\ln\pi}4-\frac{3\,\pi\,\ln2}8.$$ No he podido establecer rigurosamente la igualdad, pero el valor es correcto hasta al menos $900$ dígitos decimales.

¿Es el valor exacto correcto de la integral $\,\mathcal{I}$ ?