Los jugadores A y B se alternan escribiendo un dígito para formar un número de seis cifras. Esto significa que A escribe el dígito $a$ , B escribe el dígito $b$ ... para hacer un número $\overline{abcdef}$ .
$a,b,c,d,e,f$ son distintos, $a\neq 0$ .
A es el ganador si este número es compuesto, si no lo es B. ¿Hay alguna manera de que A o B ganen siempre?
El jugador A tiene una estrategia ganadora. Primero, el jugador A elige $a = 3$ .
Caso I: El jugador B elige $b = 9$ .
Entonces, el jugador A elige $c = 1$ . Si el jugador B elige $d = 7$ El jugador A puede elegir $e$ de forma arbitraria. Si el jugador B elige $d \neq 7$ El jugador A elige $e = 7$ . Siguiendo esta estrategia, $\{1,3,7,9\} \subseteq \{a,b,c,d,e\}$ . Así que el jugador B se ve obligado a elegir $f \in \{0,2,4,5,6,8\}$ que hace que $\overline{abcdef}$ compuesto.
Caso II: El jugador B elige $b \neq 9$ .
Entonces, el jugador A elige $c = 9$ y espera a que el jugador B elija $d$ .
Si $\{b,d\} = \{0,6\}, \{1,5\}, \{1,8\}, \{4,5\}, \{4,8\}, \{7,5\}, \{7,8\}$ , entonces el jugador A elige $e = 2$ .
Si $\{b,d\} = \{1,2\}, \{4,2\}, \{7,2\}$ , entonces el jugador A elige $e = 5$ .
Si $\{b,d\} = \{0,4\}, \{0,7\}, \{6,4\}, \{6,7\}, \{2,5\}, \{2,8\}, \{5,8\}$ , entonces el jugador A elige $e = 1$ .
Si $\{b,d\} = \{0,1\}, \{6,1\}$ , entonces el jugador A elige $e = 4$ .
Si $\{b,d\} = \{6,2\}, \{6,5\}, \{6,8\}, \{1,4\}, \{1,7\}, \{4,7\}$ , entonces el jugador A elige $e = 0$ .
Si $\{b,d\} = \{0,2\}, \{0,5\}, \{0,8\}$ , entonces el jugador A elige $e = 6$ .
En todos estos casos, $e$ se eligió de forma que $b+d+e \equiv 2\pmod{3}$ . Por lo tanto, $a+b+c+d+e \equiv 2 \pmod{3}$ . Si el jugador B elige $f \in \{1,7\}$ entonces $a+b+c+d+e+f$ será un múltiplo de $3$ y por lo tanto, $\overline{abcdef}$ es un múltiplo de $3$ y, por tanto, compuesto. En caso contrario, $f \in \{0,2,4,5,6,8\}$ y $\overline{abcdef}$ es compuesto.
Por lo tanto, el jugador A puede seguir esta estrategia para garantizar que $\overline{abcdef}$ es compuesto, y así, asegurar que el jugador A gane el juego.
Esta es la wiki de la comunidad porque es la respuesta de JimmyK4542 con un razonamiento diferente.
En primer lugar, observe que si el último dígito es 0, 2, 4, 5, 6 u 8, el resultado es compuesto y gana A. En otras palabras, B sólo puede ganar si el último dígito es 1, 3, 7 o 9, e incluso entonces no está garantizado.
A tiene que elegir tres dígitos. Como en la respuesta de JimmyK4542, A elige primero el 3 (el 9 también funciona). Si B elige cualquiera de los números 1, 3 o 7, A puede elegir los otros dos y garantizarse la victoria. Por lo tanto, sólo tenemos que considerar los casos en los que la elección de B se encuentra fuera de este conjunto.
A elige el 9 como segundo dígito (o el 3 si eligió el 9 primero). De nuevo, si B elige el 1 o el 7, A elige el otro y gana. Por lo tanto, cuando A vaya a elegir su tercer dígito, sólo tendremos que considerar los casos en los que B haya seleccionado dos dígitos del conjunto $\{0, 2, 4, 5, 6, 8\}$ .
La estrategia de A consiste ahora en seleccionar un número tal que, aunque B elija cualquiera de los dos, el 1 o el 7, el número sea compuesto. Observe que 1 y 7 son ambos iguales a 1 mod 3 y 3 y 9 son ambos 0 mod 3. Por tanto, A debe asegurarse de que su elección sumada a las dos anteriores de B sea igual a 2 mod 3. Examinemos los tres casos:
1) La suma de los dos números de B es 0 mod 3. Sabemos que no puede haber elegido tanto el 2 como el 8, así que elige uno de ellos.
2) La suma de los dos números de B es 1 mod 3. Elige 1 o 7.
3) La suma de los dos números de B es 2. Sabemos que no puede haber elegido tanto el 0 como el 6, así que elige uno de ellos.
Y hemos terminado.
He añadido esta respuesta porque el razonamiento puede parecer más intuitivo para algunos y la estrategia quizás más directa.
Si lo entiendo bien, los jugadores dirán $3$ dígitos del número cada uno. Y dada la distribución de los primos entre los números naturales (entre $100,000$ y $1,000,000$ Hay aproximadamente $7.656\%$ de números primos), es muy probable que $A$ gana casi siempre con números elegidos al azar (más de $92\%$ oportunidad).
Intentaré mostrar una forma intuitiva y no tan teórico enfoque.
Para $A$ para ganar siempre, sólo tienen que elegir $e$ para que el número final no pueda ser un primo. Podemos demostrar que esto es posible señalando que hay una forma de elegir $e$ y obtener ningún primo para cada número entre $\overline{abcde0}$ y $\overline{abcde9}$ para todos los distintos $a$ , $b$ , $c$ , $d$ , en $\left[0; 9\right]$ , $a\ne0$ .
Lo calculé con un Programa en Python y parece que no hay cientos entre $100,0\text{xx}$ y $1,000,0\text{xx}$ que satisfacen estas condiciones. Siempre podemos encontrar algún $e$ para que el número final sea forzosamente compuesto.
Por otra parte, esto demuestra que es imposible proporcionar una estrategia para $B$ para ganar, si $A$ elige bien sus dígitos.
Espero que esto se adapte a tus reglas de juego (que puede que haya entendido mal), házmelo saber en la sección de comentarios.
Las respuestas existentes pueden simplificarse: sus divisiones de casos son innecesarias.
Para que B gane es necesario, pero no suficiente, que la última cifra que elija B esté en $\{1, 3, 7, 9\}$ .
Si la primera elección de A es $3$ y A garantiza que los tres primeros dígitos incluyen $9$ (es decir, A recoge $9$ para el tercer dígito si B no lo eligió para el segundo dígito), entonces cuando se trata de la tercera elección de A (elegir el quinto dígito entre seis dígitos no elegidos) tenemos las siguientes garantías:
Por lo tanto, A siempre puede elegir el quinto dígito de forma que la suma de los cinco primeros dígitos sea $2 \bmod 3$ . Entonces, como B necesita que el último dígito sea $1$ o $7$ el número acabará siendo divisible por $3$ y por lo tanto B no puede ganar.
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