Prueba $\left(\frac{u+v}{2}\right)^p\leq\frac{u^p+v^p}{2}$

Question

Demuéstralo: Sea $p$ sea un número entero mayor que $1$ . Supongamos que $u,v$ son números reales positivos. Entonces $\left(\frac{u+v}{2}\right)^p\leq\frac{u^p+v^p}{2}$ .

Sólo sé $(u+v)^p\geq u^p+v^p$ . ¿Cómo continuar la prueba? ¿O debo empezar de otra manera?

También pienso a la inversa, y conseguiré $(u+v)^p\leq 2^{p-1}(u^p+v^p)$ ¿Estoy en lo cierto? Pero, ¿cómo conseguirlo? ¿Alguien puede enseñarme?

Answer 1

Pistas: aplica el teorema binomial así:

$$a^p+b^p=[\frac 12(a+b)+\frac 12(a-b)]^p+[\frac 12(a+b)-\frac 12(a-b)]^p$$

Tras la expansión y simplificación tenemos:

$$\frac 12 (a^p+b^p)=\big(\frac{a+b}2\big)^p+p\big(\frac{a+b}2\big)^{p-1}\big(\frac{a-b}2\big)+\frac{p(p-1)}{2!}\big(\frac{a+b}2\big)^{p-2}\big(\frac{a-b}2\big)^2+\cdot \cdot\cdot$$

Si p es un entero positivo o, cualquier cantidad negativa (entero o fracción), entonces todos los términos en RHS son positivos y por lo tanto tenemos:

$$\frac{a^p+b^p}2>\big(\frac{a+b}2\big)^p$$

Igualdad es cuando $a=b$

Comentario:

Refiriéndome a tu pregunta en el comentario, esas son desigualdades AM-GM y su demostración es diferente. Puedes preguntarlo en otra pregunta.

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