Sea $T$ ser un inyectiva sistema de operador y $U$ sea un sistema de operadores arbitrario. Sea $\varphi: T \to U$ sea un mapa unital completamente positivo y $\psi: U \to T$ sea un mapa unital completamente positivo con $\psi \varphi = \iota_T$ . ¿Es cierto que $\varphi$ ¿es una isometría completa?
Inténtelo : Creo que sí. He aquí un argumento:
Es evidente que $\varphi: T \to \varphi(T)\subseteq U$ es un isomorfismo unital de orden completo, como su inverso $\psi: \varphi(T) \to T$ también es un mapa completamente positivo. Sin embargo, entonces se deduce que $\varphi(T)$ es un sistema de operadores inyectivo. Por un resultado de Choi y Effros, podemos equiparar $T$ y $\varphi(T)$ con multiplicaciones tales que estos sistemas de operadores se convierten en $C^*$ -tales que los mapas de identidad se convierten en mapas unitales completamente isométricos. Pero entonces el mapa $\varphi: T \to \varphi(T)$ se convierte en $*$ -(porque un isomorfismo de orden completo unital entre $C^*$ -preserva automáticamente las $C^*$ -Este es un resultado de Choi). En particular, $\varphi$ es completamente isométrica.
¿Es correcto el argumento anterior? ¿Y podemos demostrarlo utilizando resultados más "elementales"?
Contexto de la pregunta : Intento comprender el hecho de que una extensión rígida inyectiva es automáticamente también una extensión esencial (véase por ejemplo el libro de Paulsen, teorema 15.8). He localizado la prueba original en el artículo "Injective envelopes of operator systems" de Hamana, lema 3.7, donde terminan la prueba afirmando que cierta composición es el mapa identidad, lo que motiva mi pregunta anterior. En otros artículos de Hamana se pueden encontrar afirmaciones similares.
