Pregunta de la Serie de Fourier.

Question

Para la pregunta, estoy confundido sobre cómo llegar a cualquiera de las respuestas. ¿Qué tengo que hacer?

Pregunta

Considere la expresión: $$ t^3 = \pi^2t + 12\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{(-1)^n \sin (nt)}{n^3} $$

en el intervalo $-\pi \lt t \lt\pi$.

¿Cuál de las siguientes expresiones es verdadera?

$\quad(A.)$ $$\pi^3 = 32 \sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{(-1)^{k+1}}{(2k-1)^3}$$ $\quad(B.)$ $$\pi^3 = 32 \sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{(-1)^{k-1}}{(2k)^3}$$ $\quad(C.)$ $$\pi^3 = 32 \sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{(-1)^{k}}{(2k-1)^3}$$ $\quad(A.)$ $$\pi^3 = 32 \sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{(-1)^{k}}{(2k)^3}$$

Gracias

Answer 1

Lo que se da es la serie de Fourier de $f(t)=t^3-\pi^2t$ en $(-\pi,\pi)$. En $t=-\pi/2$, la serie converge a $f(-\pi/2)=3\pi^3/8$. Así que $$3\pi^3/8=12\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n+1}\sin(n\frac\pi2)}{n^3}$$Dado que $\sin(n\frac\pi2)=0$ para $n$ pares y $(-1)^\frac{n-1}2$ para $n$ impares, esta serie puede ser reescrita para sumar solo sobre los $n$ impares: $$12\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}}{(2n-1)^3}=12\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n+1}}{(2n-1)^3}=3\pi^3/8$$ dándole a $(a)$ como la opción correcta.