¿Por qué $f(e)=1$ ?

Question

Sea $A$ sea un Álgebra de Banach compleja conmutativa con elemento unitario $e$ . Ahora, dejemos que $f \in A^*$ sea un funcional lineal multiplicativo distinto de cero.

¿Por qué se deduce directamente de lo anterior que $f(e)=1$ ?

Answer 1

Desde $e^2=e$ , $f(e)^2=f(e)$ . Es decir $f(e)$ debe ser $0$ o $1$ . Pero si $f(e)=0$ entonces $f(x)=f(ex)=f(e)f(x)=0$ para todos $x\in A$ .