Período de búsqueda de $f$ a partir de la ecuación funcional $f(x)+f(x+4)=f(x+2)+f(x+6)$

Question

¿Cómo puedo hallar el período de una función de valor real que satisface $f(x)+f(x+4)=f(x+2)+f(x+6)$ ?

Nota: No se permite el uso de relaciones de recurrencia. Es mejor utilizar manipulaciones algebraicas elementales.

Answer 1

Se le da que $f(x)+f(x+4) = f(x+2)+f(x+6)$ para todos $x \in \mathbb{R}$ .

Sustituir $x$ con $x+2$ para obtener $f(x+2)+f(x+6) = f(x+4)+f(x+8)$ para todos $x \in \mathbb{R}$ .

Así, $f(x)+f(x+4) = f(x+2)+f(x+6) = f(x+4)+f(x+8)$ para todos $x \in \mathbb{R}$ .

Resta $f(x+4)$ del lado izquierdo y derecho de la última ecuación para obtener: $f(x) = f(x+8)$ para todos $x \in \mathbb{R}$ .

Nota importante: Esto le indica que $f$ es $8$ -periódica, pero $8$ puede no ser necesariamente el periodo mínimo. Por ejemplo, $f(x) = \sin(\pi x)$ satisface $f(x)+f(x+4) = f(x+2)+f(x+6)$ para todos $x \in \mathbb{R}$ pero tiene punto $2$ .

Answer 2

Obsérvese que $$ f(x)+f(x+4)=f(x+2)+f(x+6), $$ podemos sustituir $x+2$ para $x$ para obtener $$ f(x+2)+f(x+6)=f(x+4)+f(x+8). $$

Igualando estos valores, sabemos que $f(x)=f(x+8)$ .