Longitud del arco: Dificultad con la integral

Question

La cuestión es hallar la longitud de arco de una porción de una función.

$$y=\frac{3}{2}x^{2/3}\text{ on }[1,8]$$

No sabía cómo evaluar la integral, así que recurrí al manual de soluciones.

No entiendo muy bien lo que hicieron en el 5º paso. ¿Podría alguien aclarármelo?

Answer 1

Esto hace que la integral sea computable, y no es más que reescribir el integrando del paso 4. Vemos que las constantes se multiplican por $1$ (la constante fuera de la integral es $\frac{3}{2}$ la constante interior es $\frac{2}{3}$ y puedes sacar la constante. La única otra cosa que queda es el $x^{-\frac{1}{3}}$ que obtenemos simplificando $$\sqrt{\frac{1}{x^\frac{2}{3}}} \mbox{ to } \sqrt{x^\frac{-2}{3}}={x^{-\frac{2}{3}}}^\frac{1}{2}=x^\frac{-1}{3}$$ Combinando todo esto, vemos $$ \sqrt{\frac{x^\frac{2}{3}+1}{x^\frac{2}{3}}}=\frac{3}{2}\sqrt{x^\frac{2}{3}+1}\frac{2}{3x^\frac{1}{3}}. $$ Espero que esto te aclare ese paso.

Answer 2

La expresión entre paréntesis es precisamente lo que necesita para la sustitución $u=x^{2/3}+1$ a trabajar.