El producto de dos PDF gaussianas es una PDF gaussiana, pero el producto de dos variables gaussianas no es gaussiano.

Question

El producto de dos variables aleatorias gaussianas no tiene distribución gaussiana:

• ¿El producto de dos variables aleatorias gaussianas es también una gaussiana?
• También Wolfram Mathworld
• Así que esto es decir $X \sim N(\mu_1, \sigma_1^2)$ , $Y \sim N(\mu_2, \sigma_2^2)$ entonces $XY \sim W$ donde W es alguna otra distribución, que no es Gaussiana

Pero el producto de dos PDF gaussianas es una PDF gaussiana:

• Calcular el producto de dos PDF gaussianas
• Prueba completa
• Este tutorial que estoy tratando de entender Escribe: $N(\mu_1, \sigma_1^2)\times N(\mu_2, \sigma_2^2) = N(\frac{\sigma_1^2 \mu_2 + \sigma_2^2 \mu_1}{\sigma_1^2 + \sigma_2^2},\frac{1}{\frac{1}{\sigma_1^2} + \frac{1}{\sigma_2^2}})$

¿Qué está pasando aquí?

¿Qué hago cuando tomo el producto de dos pdfs frente a cuando tomo el producto de dos variables de los pdfs?

Cuando (qué situación física) es descrita por uno, y qué por la otra? (Creo que algunos ejemplos del mundo real me aclararían las cosas)

Answer 1

El producto de las PDF de dos variables aleatorias $X$ y $Y$ dará el conjunta distribución de la variable aleatoria vectorial $(X,Y)$ en el caso de que $X$ y $Y$ son independientes. Por lo tanto, si $X$ y $Y$ son variables aleatorias independientes distribuidas normalmente, el producto de sus PDF es normal bivariante con correlación cero.

Por otra parte, incluso en el caso de que $X$ y $Y$ son variables aleatorias normales estándar IID, su producto no es en sí normal, como muestran los enlaces que proporcionas. El producto de $X$ y $Y$ es un con valores escalares variable aleatoria, no vectorial como en el caso anterior.

Answer 2

1.) El primer ejemplo ya es suficiente. Por poner otro para una suma de variables gaussianas, consideremos la difusión: en cada paso en el tiempo una partícula es perturbada por un paso aleatorio distribuido gaussianamente en el espacio. En cada momento la distribución de sus posibles posiciones en el espacio será una gaussiana porque el desplazamiento total es la suma de un montón de desplazamientos distribuidos gaussianamente, y la suma de variables gaussianas es gaussiana.

2.) La segunda situación (producto de PDF gaussianas) es confusa porque la función resultante es una gaussiana, pero es no una distribución de probabilidad porque no está normalizada. Sin embargo, hay situaciones físicas en las que el producto de dos PDF gaussianas es útil. Véase más abajo.

TL;DR - un ejemplo físico para un producto de PDFs gaussianas viene de la probabilidad bayesiana. Si nuestro conocimiento previo de un valor es gaussiano, y tomamos una medida que está corrompida por ruido gaussiano, entonces la distribución posterior, que es proporcional a las distribuciones anterior y de la medida, también es gaussiana.

Por ejemplo:

Supongamos que usted está tratando de medir una constante, desconocida, valor $X$ . Se pueden tomar medidas del mismo, con ruido gaussiano, su modelo de medida es $\tilde{X} = X + \epsilon$ . Por último, supongamos que tenemos una distribución a priori gaussiana para $X$ . Entonces, la distribución posterior después de tomar una medida es

$$P[X\mid \tilde{X}] = \frac{P[\tilde{X}\mid X] P[X]}{P[\tilde{X}]}$$

Como está de moda en probabilidad beysiana, desechamos el valor $P[\tilde{X}]$ porque no depende explícitamente de $X$ así que podemos ignorarlo por ahora y normalizarlo más tarde.

Ahora, nuestra suposición es que el anterior, $P[X]$ es gaussiano. El modelo de medida nos dice que $P[\tilde{X}\mid X]$ es gaussiano, en particular $P[\tilde{X}\mid X] = N[\Sigma_{\epsilon},X]$ . Como el producto de dos gaussianas es una gaussiana, la probabilidad posterior es gaussiana. No está normalizada, pero es donde $P[\tilde{X}]$ (que hemos "desechado" antes). Debe ser exactamente el valor correcto para normalizar esta distribución, que ahora podemos leer a partir de la varianza de la posterior gaussiana.

Lo que realmente deberías deducir de esto es que los gaussianos son mágicos [1]. No conozco ninguna otra PDF que tenga esta propiedad. Por eso, por ejemplo, los filtros de Kalman funcionan tan bien. Los filtros de Kalman utilizan estas dos propiedades, y así es como se obtiene un algoritmo súper eficiente para la estimación del estado de un sistema dinámico lineal con ruido gaussiano.

[1] - Los gaussianos no son mágicos, pero quizá sí matemáticos.

Answer 3

Estoy sorprendido Respuesta de @heropup se acepta, porque la pregunta original es sobre el producto de dos PDF gaussianas que dan como resultado una nueva, escalar PDF (en lugar de un vector PDF conjunto como supone @heropup). Aunque tenemos dos PDF gaussianas de variables diferentes, es decir

$$ f_1(x) \sim N(\mu_1,\sigma_1^2)\\ f_2(y) \sim N(\mu_2,\sigma_2^2), $$

se multiplican asumiendo alguna variable ficticia $t$ :

$$ f = f_1(t) f_2(t) \sim N(\hat{\mu},\hat{\sigma}^2) $$

que es un escalar ¡PDF y no un PDF conjunto! A continuación se ofrece un ejemplo, con $\mu_1=5$ , $\mu_2=10$ y $\sigma_1=\sigma_2=1$ . El resultado $f$ se normaliza para que sea un PDF válido. Debido a la naturaleza exponencial de una PDF gaussiana, ésta alcanza su punto máximo en los puntos en los que ambas $f_1$ y $f_2$ son grandes.

El resultado $f$ debe no interpretarse como la PDF de $Z=X\cdot Y$ ¡! Esto es obvio ya que el pico no debería estar cerca de $7.5$ sino más bien cerca de $\mu_1 \mu_2=50$ (véase el gráfico a continuación).

Tenga en cuenta que $f$ en este gráfico no suele ser gaussiano.

Answer 4

En resumen, te confundieron dos conceptos totalmente distintos.

1. Para la primera, estás calculando la distribución de variables aleatorias transformadas. aquí, especificas que es el producto de XY.

2. Para la segunda, basta con calcular el producto de dos funciones $\phi(x)\phi(y)$ que resultan ser la PDF de dos variables aleatorias normales.

Para más información, consulte aquí . En general, si quieres calcular la PDF de XY, tienes que averiguar $F(t) = P(XY < t)$ entonces $f(t) = F'(t)$ . En cuanto al producto de dos funciones, es fácil como puedes ver.

Answer 5

Intuición 1 (Multiplicación de variables aleatorias): Supongamos que los niños ahorran dinero Y durante X días antes de dejarlo. X es una variable aleatoria iid distribuida normalmente de 0 a 10 días. El niño medio ahorra durante 5 días. El niño medio ahorra 0,30 al día (la mayoría entre 0,10 y 0,50). ¿Cuál es la distribución?

Ahora bien, ¿se distribuyen normalmente los ahorros de un niño? Sabemos que la media, la mediana y la moda de una distribución normal son iguales, ya que es simétrica con una desviación típica.

El ahorro medio es claramente 0,30 * 5 = 1,50. El ahorro máximo es 5 y el mínimo 0. La mediana de 5 y 0 es 2,50. El ahorro máximo es 5 y el mínimo 0. La mediana de 5 y 0 es 2,50. La media y la mediana no coinciden, por lo que el producto no está distribuido normalmente. La media y la mediana no coinciden, por lo que el producto no se distribuye normalmente. La distribución se desplaza hacia la izquierda a partir de la marca 2,50. La probabilidad de que un niño haya ahorrado 1 es mayor que la probabilidad de que haya ahorrado 4.

Intuición 2 (Multiplicación de PDF gaussianas): Ahora no se multiplican los números, sino las funciones. La multiplicación es sólo un montón de álgebra y la función resultante también se ajusta al factor de forma de una gaussiana. La prueba de ello está en tu enlace. Significa que si tienes poblaciones de niños, habrá una gaussiana que represente sus ahorros con una media de ahorros de cada subpoblación. Básicamente, una mezcla de gaussianas es una gaussiana. Véase https://en.m.wikipedia.org/wiki/Mixture_model para saber cómo se mezclan las distintas distribuciones. Es útil para construir modelos de aprendizaje automático. Tal vez, dadas las distribuciones de ahorro diario y ahorro total, quieras establecer la distribución de cuánto tiempo tienden a ahorrar los niños.