Ayuda con una derivada

Question

Necesito tomar la derivada de la siguiente función respecto a $x$ .

(Se trata de la Beta general de la función de densidad de segundo tipo).

$$\frac{a}{bB(p,q)}\frac{(x/b)^{ap-1}}{(1+(x/b)^a)^{p+q}}$$

$B(p,q)$ es la función beta.

No necesito la respuesta en sí, pero agradecería algún consejo sobre qué estrategia debo utilizar, especialmente en lo que respecta a la derivada de la función beta.

Gracias

Answer 1

Suponiendo que todo es de valor real y que a, b, p y q son independientes de x, consideramos el siguiente problema.

$$\left( K\frac{x^{ap-1} }{(1 + (x/b)^a)^{p + q}} \right)'$$ donde $K = \dfrac{a}{bB(p,q) \cdot b^{ap-1}}$ Esto no es un problema tan malo, ya que es sólo una composición de varias funciones que aprendemos a diferenciar en una clase de introducción al cálculo. Pero no tiene un aspecto muy divertido y es un poco lioso. Pero no pierdas de vista los factores y sigue adelante.

Ahora se trata de aplicar la regla del cociente o la del producto, a elección de cada uno. Hoy elijo la regla del producto. Así que observamos lo siguiente: $(x^{ap-1})' = (ap-1)x^{ap-2}$ y $(\;(1 + \frac{x^a}{b^a})^{-p-q}\;)'$ que, recordando la regla de la cadena, se convierte en $(-p-q) (1 + \frac{x^a}{b^a})^{-p-q-1} \cdot \frac{ax^{a-1} }{b^a}$ .

Juntando todo esto, se obtiene $$K \left( \frac{(ap-1)x^{ap-2}}{(1 + \frac{x^a}{b^a})^{p+q}} + \frac{x^{ap-1} \cdot -(p+q) (\frac{ax^{a-1}}{b^a})}{(1 + \frac{x^a}{b^a})^{p+q+1}} \right)$$

Y he hecho todo lo posible por poner los factores en el orden en que aparecen al utilizar las reglas de cadena, producto y potencia.