Secuencia exacta corta y longitud de Loewy

Question

Sea $0\rightarrow L \rightarrow M\rightarrow N \rightarrow 0$ sea una sucesión exacta corta en $mod A$ donde $A$ es un álgebra de Artin, y $mod A$ denota la categoría de módulo derecho finitamente generado.

Pregunta: cómo demostrar la siguiente igualdad $$\ell\ell (M)\leq \ell\ell(L)+\ell\ell(N).$$ Toma, $\ell\ell(X)$ denota la longitud de Loewy de $X\in mod A.$

Answer 1

Sea $J$ denota el radical de Jacobson de $A$ . Por el teorema del isomorfismo, tenemos $$ (M/L)J^{\ell\ell(N)} \cong NJ^{\ell\ell(N)} = 0. $$ Esto implica $$ MJ^{\ell\ell(L)+\ell\ell(N)} = (MJ^{\ell\ell(N)}) J^{\ell\ell(L)} \leq LJ^{\ell\ell(L)} = 0,$$ que da como resultado $$ \ell\ell(M) \le \ell\ell(L) + \ell\ell(N).$$