Estoy buscando ejemplos concretos de medir la preservación de las transformaciones de $\mathbb{R}^n$ (con medida de Lebesgue) para obtener una mejor idea de cómo se comportan.
Una gran familia de dichas transformaciones son el diffeomorphisms cuyos derivados se ha determinante $\pm 1$ en todas partes. También hay no-continuos ejemplos como el mapa de $x \mapsto x - 1/x$$\mathbb{R}$.
Sin embargo, todo el continuo de medir la preservación de los mapas que yo conozco son de hecho homeomorphisms. Me preguntaba ¿a qué distancia de un homeomorphism puede una medida continua-preservar el mapa, pero no tengo ningún ejemplo en mi mente. Así que mi pregunta es:
¿Cuáles son los ejemplos de continuo a medida para la preservación de los mapas de $\mathbb{R}^n$ que no homeomorphisms?
Aquí están algunas ideas:
Un mapa debe ser "casi-surjective", en el sentido de que su imagen se ha medida completa. De hecho, la preimagen de un complemento de la imagen está vacía, por lo que debe tener medida $0$ desde el mapa es la medida de preservación.
También, el mapa no puede ser excesivamente no inyectiva ya que la preimagen de un punto que se debe tener de medida $0$. Me preguntaba si había alguna declaración más fuerte se podría decir acerca de inyectividad (como el que tenemos para surjectivity).
