¿La intersección de un subgrupo y un subgrupo normal creará un subgrupo normal para el grupo principal

Question

Si $G$ es un grupo y $H \leqslant G$ y $K \triangleleft G$ es $H \cap K \triangleleft G$ ? Creo que la intersección de $H$ y $K$ es un subgrupo, y si $K \triangleleft G$ es $H\cap K \triangleleft G$ pero no pude probarlo. Esto es todo lo que he hecho hasta ahora:

$\forall x \in H \cap K \land \forall g \in G \Rightarrow gxg^{-1} \in H \cap K$ ?

$x \in H \cap K \Rightarrow x \in H \land x\in K$

$x \in K \land g \in G \Rightarrow gxg^{-1} \in K$

pero no pude mostrarlo

$x \in H \land g \in G \Rightarrow gxg^{-1} \in H$

Dame una pista por favor

Answer 1

No, $H\cap K$ puede no ser normal en $G$ . Por ejemplo $G=D_4$ el grupo diedro con $8$ elementos. Dejar $\rho$ sea una rotación en ángulo $\frac{2\pi}{4}$ y $\epsilon$ cualquier reflexión que podamos hacer $K=\langle \rho^2,\epsilon\rangle\trianglelefteq G$ y $H=\langle \epsilon\rangle\leq G$ . Entonces $H\cap K=\langle\epsilon\rangle$ y no es normal en $D_4$ .

Dicho esto, $H\cap K$ es normal en $H$ . En efecto, dejar que $h\in H, x\in H\cap K$ tenemos $hxh^{-1}\in H$ porque es un producto de elementos de $H$ y tenemos $hxh^{-1}\in K$ porque $K$ es normal en $G$ . Así que $hxh^{-1}\in H$ .

Answer 2

Por cada $a \in G$ , obtenemos:

\begin{alignat}{1} a(H\cap K) &= \{ag\mid g\in H\cap K\} \\ &= \{ag\mid g\in H\wedge g\in K\} \\ &= \{ag\mid g\in H\}\cap \{ag\mid g\in K\} \\ &= aH\cap aK \\ \tag 1 \end{alignat}

y lo mismo para los cosets derechos. Por lo tanto, si $K\unlhd G$ :

\begin{alignat}{1} a(H\cap K)\cap (H\cap K)a &= (aH\cap aK)\cap(H a\cap aK) \\ &= (aH\cap Ha)\cap aK \\ \tag 2 \end{alignat}

Ahora, $H \ntrianglelefteq G \Rightarrow \exists a'\in G\mid a'H\ne Ha' \Rightarrow a'H\cap Ha'\subsetneq a'H$ y de ahí, por $(2)$ :

\begin{alignat}{1} a'(H\cap K)\cap (H\cap K)a' &= (a'H\cap Ha')\cap a'K \subsetneq a'H\cap a'K=a'(H\cap K)\\ \tag 3 \end{alignat}

de donde:

$$(H\cap K)a' \ne a'(H\cap K)$$

y finalmente $H\cap K \ntrianglelefteq G$ .

Answer 3

Si toma $H\leq K$ entonces $H\cap K=H$ . Así que basta con encontrar una cadena de subgrupos $H\leq K\lhd G$ tal que $H\not\lhd G$ .

Por ejemplo $G=S_3\times L$ donde $L$ es cualquier grupo no trivial. Entonces la cadena $$\{id, (12)\}\leq S_3\lhd G$$ obras. Es decir, toma $K:=S_3\lhd G$ y $H:=\{id, (12)\}\leq S_3$ y la cadena funciona como $\{id, (12)\}\not\lhd S_3$ .

(He utilizado $S_3$ porque es el grupo más pequeño que contiene un subgrupo que no es normal. Sin embargo, muchos otros grupos funcionan).